Bài 112377

Question

Cho parabol $(P) : y=x^2$ và hai điểm $A,B$ chạy trên $(P)$ sao cho $AB=2$.
a) Tìm quỹ tích trung điểm của đoạn $AB$
b) Định vị trí của $A,B$ sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P)$ và đường thẳng $AB$ có diện tích lớn nhất.

score 0 · Answer 1

) Gọi $A(a;a^2), B(b;b^2).$
Do đó : $ AB = 2 \Leftrightarrow (a-b)^2 + (a^2-b^2)^2 = 4$
                       $ \Leftrightarrow (a-b)^2[1+(a+b)^2] = 4$                     (1)
Gọi $I$ là trung điểm của đoạn $AB$ khi đó :
   $ \begin{cases}x_I = \frac{1}{2} (a+b)          (2)\\ y_I=\frac{1}{2} (a^2+b^2)                 (3)\end{cases} $
$(2) \Rightarrow a+b = 2x_I$
$(3) \Rightarrow a^2+b^2 = 2y_I \Leftrightarrow (a+b)^2 -2ab = 2y_I$
                                      $\Leftrightarrow ab = \frac{1}{2} (a+b)^2 - 2y_i = 2x^2_i - y_I$
Cùng với (1) ta suy ra rằng : $[(a+b)^2 -4ab][1+(a+b)^2] = 4$
$\Leftrightarrow ( 4x^1_I - 8x^2_I + 4y_I)(1 + 4x^2_I) =4$
$ \Leftrightarrow (y_I - x^2_I)(1+4x^2_I) = 1 \Leftrightarrow y_I = \frac{1}{4x^2_I}+x^2_I$
Vậy quỹ tích trung điểm của đoạn $AB$ là đường cong có phương trình :
         $ y = \frac{1}{1+4x^2}+x^2$

b) Phương trình đường thẳng $AB$ là $y=a^2 + \frac{b^2-a^2}{b-a}(x-a)$
$\Leftrightarrow y = (b+a)(x-a)+a^2 = (b+a)x-ab$
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $AB$ và $(P)$ là :
$ S = \int\limits_{a}^{b} [(b+a)x-ab-x^2]dx = \left ( (b+a)\frac{x^2}{2} - abx-\frac{x^3}{3} \right )\left| \begin{array}{l}
b\\
a
\end{array} \right.$
$ = \frac{1}{2} (b+a)(b^2-a^2) -ab (b-a) - \frac{1}{3}(b^3-a^3)$
$ = (b-a)\left [ \frac{1}{2} (b+a)^2 - ab - \frac{1}{3}(b^2 + ba + a^2) \right ]$
$ = \frac{1}{6}(b-a)[[3(b+a)^2 - 6ab - 2 (b^2+ba+a^2)]]$
$ = \frac{1}{6}(b-a)(a^2+b^2-2ab) = \frac{1}{6}(b-a)^3 \leq \frac{1}{6}AB^3 = \frac{4}{3}$
Dấu $"=" \Leftrightarrow \begin{cases}b-a=2 \\ (a-b)^2[1+(a+b)^2]=4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a=-1 \\ b=1 \end{cases} $
Vậy : $Max S = \frac{4}{3} khi A(-1;1) và B(1;1).$

Bài 112377

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112377

1 Đáp án

Liên quan

Ứng dụng của tích phân trong tính diện tích hình phẳng

Lý thuyết liên quan