Bài 112375

Question

a) Xác định $a,b,c$ để $\int\limits \frac{dx}{(x+1)(x+2)^2} = \int\limits \left (\frac{A}{(x+2)^2} + \frac{B}{x+1}+\frac{C}{x+2}\right )dx.$
b) Tính diện tích $S(t)$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số :
$ y =\frac{1}{(x+1)(x+2)^2} $ trên $ [0;t](t>0)$ và trục hoành $Ox$.
c) Tính $\mathop {\lim }\limits_{t \to +\infty}S(t)$

score 0 · Answer 1

a) Đạo hàm hai vế của câu a) ta có :
     $ \frac{1}{(x+1)(x+2)^2} = \frac{A}{(x+2)^2} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{x+2}$
$\Leftrightarrow 1 = A(x+1)+B(x+2)^2+C(x+1)(x+2), \forall x \neq -1 ; 2$
* Cho $x = 0 \Rightarrow 1 = A + 4B +2C$
* Cho $x = -1 \Rightarrow 1 = B$
* Cho $x = -2 \Rightarrow 1 = -A$
$\Rightarrow \begin{cases}A = -1 \\ B = 1 \\ C = -1 \end{cases}$
b) $ S(t) = \int\limits_{0}^{t} f(x)dx = \frac{1}{x+2}\left| \begin{array}{l}
t\\
0
\end{array} \right. + \int\limits_{0}^{t} \left ( \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}   \right )dx$
                       $ = \frac{1}{t+2} - \frac{1}{2} + \ln \frac{t+1}{t+2}-\ln \frac{1}{2} $
Vậy $ S(t) = \frac{1}{t+2}+\ln \frac{t+1}{t+2}+\ln 2- \frac{1}{2}.$
c)    $ \mathop {\lim }\limits_{t \to +\infty} S(t) = \ln 1 + \ln 2-\frac{1}{2} = \ln 2 - \frac{1}{2}.$

Bài 112375

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112375

1 Đáp án

Liên quan

Ứng dụng của tích phân trong tính diện tích hình phẳng

Lý thuyết liên quan