Bài 112265

Question

a) Cho $f$ không âm , liên tục và đồng biến trên $[0;c](c>0)$. Chứng minh rằng : $\int\limits_{0}^{a}f(x)dx + \int\limits_{f(0)}^{b}f^{-1}(y)dy \geq ab , a \in [0;c], b \in [f(0);f(c)].$
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : $f(x) = e^{\frac{e}{x} } + x (\ln x -1), x \in [1;e].$

score 0 · Answer 1

a)

* Gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bới $ x=0, x=a, y = 0$ và $ y = f(x)$ thì $S_1 = \int\limits_{0}^{a}f(x)dx$
* Gọi $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $ x=0, y=b, y = f(0)$ và $ x(f^{-1}(y) thì S^2 = \int\limits_{f(0)}^{b} f^(-1)(y)dy$
* Gọi $S$ là diện tích hình chữ nhật giới hạn bởi $ x = 0 , x=a, y =0 $ và $y=b$ thì $S = ab$
Khi đó : $ S_1 + S_2 \geq S \Leftrightarrow \int\limits_{0}^{a} f(x)dx + \int\limits_{f(0)}^{b} f^{-1}(y)dy \geq ab$
Dấu $"=" \Leftrightarrow b = f(a)$
b) Đặt $ y = \frac{e}{x} ( x \in [1:e] ) \Rightarrow \begin{cases}xy=e \\ y \in [1;e] \end{cases}$
Xét $f(t) = e^t$ thì $f$ là hàm dương , liên tục và đồng biến trên $R$
Khi đó , theo kết quả câu a) ta có :
      $ \int\limits_{0}^{y} f(t)dt + \int\limits_{f(0)}^{x} \ln tdt \geq xy      \Leftrightarrow \int\limits_{0}^{y} e^tdt + \int\limits_{1}^{x} \ln tdt \geq xy$
      $\Leftrightarrow e^y - 1 + x \ln x- x +1 \geq xy = e$
      $\Leftrightarrow f(x) = e^{\frac{e}{e^x}} + x (\ln x -1) \geq e$
Dấu $"=" \Leftrightarrow x = f(y) = e^y \Leftrightarrow \begin{cases}x=e \\ y=1 \end{cases}$
Vậy $\min_{1\leq x \leq e} f(x) = e = f(e)$

Bài 112265

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112265

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan