Bài 112252

Question

Chứng minh rằng: $1+\frac{ r}{ R} = \cos A+\cos B+ \cos C$

cobedangyeu_pro97 · Answer 1 · 7/17/2012 10:24:36 AM

( với r : Bán kính đường tròn nội tiếp và R: Bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC ) $
Chứng minh:
+ Chứng minh $r = 4R \sin \frac{A }{ 2}\sin \frac{ B}{ 2} \sin \frac{ C}{ 2} $
Vì $S=Pr \Leftrightarrow r=\frac{ S}{ P} = \frac{ bc \sin A}{ b+c+a} $
Áp dụng định lí $\sin: $ ta có $b+c+a=2R(\sin A+\sin B+\sin C)\\=2R(2\cos\frac{C}2\cos\frac{A-B}2+2\cos\frac C2\cos \frac{A+B}2)$
                                                   $=8R \cos \frac{ A}{ 2} \cos \frac{ B}{ 2} \cos \frac{ c}{ 2} $
$b.c \sin A= 4R^2 . \sin B \sin C\sin A$
                $= 4R^2.8\sin \frac{ A}{ 2} \sin \frac{ B}{ 2} \sin \frac{ C}{ 2} . \cos \frac{ A}{ 2} \cos \frac{ B}{ 2} \cos \frac{ C}{ 2} $
Vậy         $r=\frac{4R^2. 8 \sin \frac{ A}{ 2} \sin \frac{ B}{ 2} \sin\frac{ A}{ 2} \cos \frac{ B}{ 2} \cos \frac{ C}{ 2}     }{ 8R. \cos \frac{ A}{2 } \cos \frac{ B}{2 } \cos \frac{ C}{ 2} } $
Do $\cos \frac{ A}{ 2} , \cos \frac{ B}{ 2} , \cos \frac{ C}{ 2} \neq 0 $
               $r=4R. \sin \frac{A }{2 } \sin \frac{ B}{ 2} \sin \frac{C }{ 2} $
$VP (1) = \cos A+\cos B+\cos C=2\sin \frac C2\cos\frac{A-B}2+1-2\sin\frac C2.\cos\frac{A+B}2
\\=1+ 4 \sin \frac{ A}{ 2} \sin \frac{ B}{ 2} \sin \frac{ C}{ 2} $
$VT (1) = 1+\frac{ r}{ R} =1 + \frac{4R \sin \frac{ A}{ 2} \sin \frac{ B}{ 2} \sin \frac{ C}{2 }   }{ R} = 1+4 \sin \frac{ A}{ 2} \sin \frac{ B}{2 }\sin \frac{ C}{ 2} $
Vậy $VT (1) = VP (1).$ Đẳng thức $(1)$ được chứng minh.

Bài 112252

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112252

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan