Bài 112172

Question

a) Tính $I_n = \int\limits_{0}^{1} (1-x^2)^ndx, n \in N$
b) Chứng minh rằng $1 - \frac{C^1_n}{3}+\frac{C^2_n}{5}-\frac{C^3_n}{7}+...+ \frac{(-1)^nC^n_n}{2n+1} = \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}.$

score 0 · Answer 1

a) Đặt $\begin{cases}u=(1-x^2)^n \\ dv=dx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}du=-2 nx(1-x^2)^{n-1}dx \\ v = x \end{cases} $
            $ I_n = (x(1-x^2)^n)\left| \begin{array}{l}
1\\
0
\end{array} \right. + 2n \int\limits_{0}^{1}x^2(1-x^2)^{n-1}dx$
                  $=2n \int\limits_{0}^{1}(x^2-1+1)(1-x^2)^{n-1}dx$
                  $=2n \int\limits_{0}^{1}[(1-x^2)^{n-1} -(1-x^2)^n]dx = 2n(I_{n-1}-I_n)$
        $\Rightarrow \frac{I_n}{I_{n-1}} =\frac{2n}{2n+1}$
        $\Rightarrow \frac{I_n}{I_{n-1}}.\frac{I_{n-1}}{I_{n-2}}...\frac{I_1}{I_0} = \frac{2n}{2n+1}.\frac{2(n-1)}{2n-1}...\frac{2}{3} = \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}$
        $\Rightarrow I_n = \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}.I_0 = \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}.$

b) Ta có : $ ( I-x^2)^n = \sum\limits_{k = 0}^n {{C_n}^k}(-1)^kx^{2k}, \forall x \in R$
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{1} x(1-x^2)^ndx = \sum\limits_{k = 0}^n {{C_n}^k}(-1)^k. \int\limits_{0}^{1}x^{2k+1}dx$
$\Rightarrow \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!} = \sum\limits_{k = 0}^n {{C_n}^k}.\frac{(-1)^k}{2k+1}$
Vậy : $1-\frac{C^0_n}{3}+\frac{C^2_n}{5}-\frac{C^3_n}{7}+...+ \frac{(-1)^nC^n_n}{2n+1} = \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}.$

Bài 112172

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112172

1 Đáp án

Liên quan

Tích phân hàm cơ bản

Lý thuyết liên quan