Bài 112049

Question

Nếu hàm số $f: [0;c) \rightarrow [0;+\infty ) $ liên tục và tăng.
Gọi $ f^{-1} : [f(0);f(a)] \rightarrow [0;a] ( a \in (0;c)) $ là hàm số ngược của $f$. Khi đó :
$ \int\limits_{0}^{a} f(x)dx + \int\limits_{f(0)}^{b} f^{-1} (x)dx \geq ab, \forall b \in [f(0);f(c))$
Dấu $ ''= '' \Leftrightarrow b = f(a)$

score 0 · Answer 1

* Gọi $S_1$ là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi $ x = 0, x =a , y = 0, y = f(x)$
   thì $ S_1 = \int\limits_{0}^{a} f(x)dx$
* Gọi $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = f(0), y = b , x =0 , x = f ^{-1}(y)$
   thì $ S_2 = \int\limits_{f(0)}^{b}f^{-1}(y)dy$
* Goi S là diện tích hình chữ nhật cho bởi $ x=0, x=a, y=0, y=b$
   thì $ S = ab$
   Trong trường hợp $f(a) \leq b$ hay $f(a) >b$, ta đều có : $S_1+S_2 \geq S$
   Nên : $ \int\limits_{0}^{a}f(x)dx + \int\limits_{f(0)}^{b} f^{-1} (x)dx \geq ab.$ Dấu $"=" \Leftrightarrow b = f(a).$

Bài 112049

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112049

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan