Bài 112045

Question

Cho hàm số $f$ có đạo hàm liên tục trên $[0;1]$ và $f$ lấy tất cả các giá trị âm dương trên $[0;1]$
Chứng minh rằng : $ \int\limits_{0}^{1} |f(x)|dx < \int\limits_{0}^{1}|f'(x)|dx.$

score 0 · Answer 1

Giả sử tồn tại $ x_1, x_2 \in [0;1] , x_1 < x_2$ sao cho $ f(x_1).f(x_2) < 0 $.
Khi đó tồn tại $ a \in (x_1;x_2)$ sao cho $ f(a) = 0 $.
Vì $|f|$ liên tục trên $[0;1]$ nên tồn tại $ b \in [0;1] $ sao cho
$|f(b)| = max ${$|f(x)| : x \in [0;1]|$ }.
Do $ f(a) = 0 \Rightarrow a \neq b $
* Nếu : $ b \in (a;1) thì \int\limits_{0}^{1} |f(x)|dx \leq \int\limits_{0}^{1} |f(b)|dx = |f(b)-f(a)| = \int\limits_{a}^{b}f'(x)dx$
                                                                    $\leq \int\limits_{a}^{b} |f'(x)dx \leq \int\limits_{0}^{1} |f'(x)|dx$
Do đó, nếu : $ \int\limits_{0}^{1} |f(x)|dx = \int\limits_{0}^{1} |f'(x)|dx \Rightarrow \int\limits_{a}^{b} |f'(x)|dx = \int\limits_{0}^{1} |f'(x)|dx$
                   $\Rightarrow \int\limits_{0}^{a} |f'(x)|dx = 0 \Rightarrow f'(x) = 0 , \forall x \in [0;a]$
                                                                                     $\Rightarrow f(x) = 0 , \forall x \in [0;a] ( vì f(a) = 0 )$
                                                                                     $\Rightarrow f(x_1) = 0 $    ( vô lí)
Như vậy : $ \int\limits_{0}^{1} |f(x)|dx < \int\limits_{0}^{1} |f'(x)|dx$
* Nếu $ b \in [0;a] thì \int\limits_{0}^{1}|f(x)|dx \leq \int\limits_{0}^{1} |f(b)|dx = |f(b)-f(a)| = | \int\limits_{b}^{a} f'(x)dx|$
                                                                    $\leq \int\limits_{b}^{a} |f'(x)dx \leq \int\limits_{0}^{1} |f'(x)|dx$
Do đó, nếu : $ \int\limits_{0}^{1}| f(x)|dx = \int\limits_{0}^{1} |f'(x)|dx \Leftrightarrow   \int\limits_{b}^{a}|f'(x)|dx = 0$
           $\Rightarrow \int\limits_{a}^{1}|f'(x)|dx = 0 \Rightarrow f'(x) = 0 , \forall x \in [a;1]$
                                                                        $\Rightarrow f'(x_2) = 0 $   ( vô lí)
Như vậy : $ \int\limits_{0}^{1} |f(x)dx < \int\limits_{0}^{1} |f'(x)dx$
Tóm lại, ta luôn có : $\int\limits_{0}^{1}|f(x)|dx < \int\limits_{0}^{1}|f'(x)|dx.$

Bài 112045

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112045

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan