Ta có:
Giả sử A là điểm nằm trên đường thẳng (a) và khác điểm I và:
F(A)=A′⇒A′≠A
và vì F(a)=a nên A′∈(a)
Ngoài ra vì IA=IA′ nên I là trung điểm của đoạn thẳng AA′.
Gọi (b) là đường thẳng nằm trong mặt phẳng (α), đi qua I và vuông góc với (a). Ta có:
F(α)=α⇒F(b)⊂α
ngoài f(b) đi qua F(I)=I và vuông góc với F(a)=a nên F(b)=b.
Lập luận tương tự như phần trên, suy ra nếu B nằm trên (b) và khác I thì:
F(B)=B′ sao cho I là trung điểm BB′.
Gọi c là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (α) tại I. Ta có:
F(c)=c⇒F(C)=C′ với C∈(c) và C≠I thì I là trung điểm của CC′.
Bây giờ giả sử M là một điểm bất kỳ trong không gian. Gọi A,B,C lần lượt là hình chiếu của M trên đường thẳng (a),(b),(c). Nói cách khác IM là đường chéo của hình hộp chữ nhật có ba cạnh là IA,IB,IC.
Khi đó, gọi A′,B′,C′ lần lượt là các điểm đối xứng của A,B,C qua điểm I thì theo như trên, ta có:
A′=F(A),B′=F(B),C′=F(C)
Nếu gọi M′ là điểm sao cho hình hộp có ba cạnh IA′,IB′,IC′ nhận IM′ làm đường chéo thì hiển nhiên F biến M thành M′ và I là trung điểm của MM′.