Bài 106912

Question

Giả sử $f$ là một phép dời hình có ba điểm bất động không thẳng hàng, tức là tồn tại $A, B, C$ không thẳng hàng sao cho:
$A=f(A), B=f(B), C=f(C).$
Chứng minh rằng $f$ là phép biến hình đồng nhất (nghĩa là với mọi điểm $M$, ta có $f(M)=M)$

phuongna · Answer 1 · 6/5/2012 3:04:02 PM

Cách 1.
Gọi $M$ là một điểm bất kì, đặt $M'=f(M)$ tức là $M'$ là ảnh của $M$ qua phép dời hình $f$, ta chứng minh $M'=M$ bằng phương pháp phản chứng:
Giả sử $M'\neq M$. Gọi $(d)$ là trung trực của đoạn thẳng $MM'.$ Vì $A=f(A), B=f(B), C=f(C)$ nên theo định nghĩa của phép dời hình (bảo toàn khoảng cách), ta có
$AM=AM', BM=BM', CM=CM'.$
Nói cách khác $A, B, C$ nằm cùng trên $(d)$, nghĩa là chúng thẳng hàng, điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy với mọi điểm $M$, ta có $f(M)=M.$

Cách 2.
Theo tính chất của phép dời hình, dễ dàng suy ra rằng bất kì một điểm nào trên các đường thẳng $BC, CA$ hoặc $AB$ đều là điểm bất động.
Bây giờ xét điểm $M$ bất kì nằm ngoài các đường thẳng $BC, CA$ và $AB$. Cũng theo tính chất của phép dời hình, ta suy ra ảnh của $M$ sẽ nằm đồng thời trên cả ba tam giác $MAB, MBC, MCA$, điều này chỉ có thể xảy ra khi ảnh của $M$ chính là $M$.

Bài 106912

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106912

1 Đáp án

Liên quan

HAI HÌNH BẰNG NHAU

Lý thuyết liên quan