Bài 111986

Question

Chứng minh rằng:
a) $ \frac{1}{\sqrt{2} } < \int\limits_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2} } } \frac{dx}{\sqrt{1-x ^{2010}} }dx< \frac{\pi}{4} $
b) $ \int\limits_{0}^{1} \frac{x \sin x}{1 + x \sin x}dx < \ln \frac{e}{2}.$

score 0 · Answer 1

a) $ \forall x \in ( 0;\frac{1}{\sqrt{2} } )$, ta có $ 0<1-x^2<1-x^{2010} <1$
$\Rightarrow 1 < \frac{1}{\sqrt{1-x^{2010}} } < \frac{1}{\sqrt{1-x^2} } \Rightarrow \int\limits_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2} } }dx < \int\limits_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2} } }\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2010}} } < \int\limits_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2} } }\frac{dx}{\sqrt{1-x^2} }$
                                                                    $\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2} } < \int\limits_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2} } }\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2010}} }< \frac{\pi}{4}.$
b) $ \forall x \in (0;1), $ ta có : $ 0 < \sin x < 1 \Rightarrow   0 < x \sin x < x$
$\Rightarrow 1< 1 + x \sin x < 1 +x    \Rightarrow   \frac{1}{1 + x \sin x} > \frac{1}{1+x}$
$\Rightarrow 1 - \frac{1}{1+ x \sin x} < 1 - \frac{1}{1+x}   \Rightarrow   \frac{x \sin x}{1 +x \sin x} < 1 - \frac{1}{1+x}$.
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}\frac{x \sin x}{1 + x \sin x}dx < \int\limits_{0}^{1} ( 1 - \frac{1}{1+x})dx = 1 - \ln 2 = \ln \frac{e}{2}$
Chú ý : Để tích phân : $ I = \int\limits_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2} } }\frac{dx}{\sqrt{1-x^2} }$ (ở câu a), ta đặt:
                             $ x = \sin t ( o \leq t < = \frac{\pi}{2}      \Rightarrow   du = \cos tdt$

Đổi cận :

Do đó : $ I = \int\limits_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2} } }\frac{dx}{\sqrt{1-x^2} } = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4} } \frac{\cos tdt}{\cos t} = \frac{\pi}{4}$

Bài 111986

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111986

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan