Bài 111984

Question

a) Tính $ I = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }\frac{\sin 2x}{1+\sin ^4x}dx $ và $ J = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} } \frac{\sin 2xdx}{1 + \cos ^4x}$
b) Chứng minh rằng $ \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} } \frac{\sin x.\cos x}{(1+\sin ^4x)(1+\cos ^4x)}dx >\frac{\pi}{12}$

score 0 · Answer 1

a) * Đặt $t = \cos 2x \Rightarrow dt = -2 \sin 2xdx$

Đổi cận :

$ I =\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} } \frac{\sin 2xdx}{1 + (\frac{1-cos2x}{2})^2 } = \int\limits_{1}^{-1} \frac{-\frac{dt}{2} }{1 + (\frac{1-t}{2})^2 } = \frac{1}{2} \int\limits_{-1}^{1} \frac{dt}{1 + (\frac{1-t}{2})^2}$
Đặt $ \frac{1-t}{2} = \tan \alpha ( 0 \leq \alpha < \frac{\pi}{2}) \Rightarrow dt = -\frac{2d\alpha}{\cos ^2 \alpha}$

Đổi cận:

$\Rightarrow I = \frac{1}{2} \int\limits_{\frac{\pi}{4} }^{0}\frac{\frac{-2d\alpha}{\cos ^2\alpha} }{1 + \tan ^2 \alpha} = \frac{\pi}{4}$
Tương tự: $J=\frac{\pi }{4} $
b) Theo câu a) ta có :
$\frac{\pi}{2} = I + J = \int\limits_{\frac{\pi}{2} }^{0} \frac{\sin 2x (2 + \sin ^4x + \cos ^4 x)}{(1 + \sin ^4 x )(1+\cos ^4x)}dx < \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }\frac{3 \sin 2x}{(1+\sin ^4x)(1+\cos ^4x)}dx$
$($ vì $ \sin ^4x + \cos ^4x = 1 - 2 \sin ^2x.\cos ^2x <1 , \forall x \in (0;\frac{\pi}{2}))$
Vậy : $ \int\limits_{0}^{0\frac{\pi}{2} } \frac{\sin x .\cos x}{(1+\sin ^4x)(1+\cos ^4x)}dx > \frac{\pi}{12}$

Bài 111984

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111984

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan