Bài 111898

Question

Cho hàm số

$f$ liên tục trên

$[-a;a](a>0).$
a) Chứng minh rằng :

$\int\limits_{-a}^{a}f(x)dx = \begin{cases}2 \int\limits_{0}^{a}f(x)dx, nếu f hàm số chẵn trên [-a;a] \\ 0 nếu f là hàm số lẻ trên [a;-a] \end{cases} .$
b) Tính

$I= \int\limits_{-2010}^{2010} [\ln (x+\sqrt{1+x^2})^2]dx.$

tran85295 · Answer 1 · 6/2/2016 7:59:26 PM

a) Đặt

$t=-x \Rightarrow dt = -dx$
Ta có :

$\int\limits_{-a}^{a} f(x)dx = \int\limits_{-a}^{0}f(x)dx + \int\limits_{0}^{a}f(x)dx =\int\limits_{a}^{0}f(-t)(-dt)+ \int\limits_{0}^{a}f(x)dx$

$\int\limits_{-a}^{a}f(x)dx = \int\limits_{0}^{a} f(-t)dt + \int\limits_{0}^{a}f(x)dx =\int\limits_{0}^{a}f(-x)dx + \int\limits_{0}^{a}f(x)dx$

$= \int\limits_{0}^{a}[f(-x) + f(x)]dx$

$= \begin{cases}2 \int\limits_{0}^{a}f(x)dx,\text{ nếu f là hàm số chẵn trên} [-a;a] \\ 0, \text{nếu f là hàm số lẻ trên } [-a;a] \end{cases}$

b) Ta có :

$x+\sqrt{x^2+1} > x +\sqrt{x^2} \geq x + |x| \geq 0, \forall x \in R$

$\Rightarrow x + \sqrt{x^2+1} > 0 , \forall x \in R$

$\Rightarrow$ Miền xác định của

$f(x) = [\ln (x+\sqrt{x^2+1})]^{1001}$ là

$R$

$\Rightarrow f$ liên tục trên

$R$
Mặt khác :

$f(x) = [\ln (-x + \sqrt{x^2+1})]^{1001} = [ \ln \frac{1}{x+\sqrt{x^2+1} }]^{1001}$

$= [-\ln (x+\sqrt{x^2+1})]^{1001}$

$= -[\ln (x+\sqrt{x^2+1})]^{1001} = -f(x), \forall x \in R$

$\Rightarrow f$ là hàm lẻ trên

$R$

$\Rightarrow$ Theo kết quả câu a) thì

$\int\limits_{-2010}^{2010} f(x)dx = 0.$

Bài 111898

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111898

1 Đáp án

Liên quan

Tích phân hàm cơ bản

Lý thuyết liên quan