Bài 111869

Question

Tìm $m$ để phương trình : $\sin 4x = m\tan x (1)$ có nghiệm $x \neq k\pi$

cobedangyeu_pro97 · Answer 1 · 7/13/2012 2:29:02 PM

Điều kiện xác định của phương trình là $ \cos x \neq 0$
Với $\cos x \neq 0 $ phương trình $(1) \Leftrightarrow 2 \sin 2x \cos 2x \cos x = m \sin x $
Vì $x \neq k\pi$ nên $\sin x \neq 0.$ Phương trình $(1) \Leftrightarrow 4 \cos 2x \cos^2 x =m$
                      $\Leftrightarrow 2 \cos 2x(1+\cos 2x)=m$
                      $\Leftrightarrow 2 \cos ^2 2x + 2 \cos 2x =m$
Đặt $\cos 2x = t.$ Do $\cos 2x = 2 \cos ^2 x -1 = 1 - 2 \sin ^2x$
Do $\cos x \neq 0$ và $x \neq k\pi$ nên $\cos 2x = t \in (-1;1)$
Phương trình $(1)$ có nghiệm $x \neq k\pi$ khi phương trình $2 t^2+2t=m    (2)$
có ít nhất $1$ nghiệm $t \in (-1;1)   (A)$
Cách $1$: Xét hàm số $f (t) = 2t^2 + 2t $ liên tục trong tập $(A)$ có $4t + 2,$
$f (t)=0 \Leftrightarrow t = -\frac{ 1}{ 2} \in (A)$
Bảng biến thiên của $f (t)$ trong $(A)$:

                                               $f (1) = 4 , f (-1)=0, f(-\frac{ 1}{ 2}) =-\frac{ 1}{ 2} $
Trong tập $A$ tập giá trị của $f (t)$ là $\left[ {\left. { - \frac{1}{2};4} \right)} \right.$
Để thỏa mãn điều kiện bài toán thì $m$ phải thuộc tập giá trị của $f ( t)$ trong tập $(A)$ khi $-\frac{ 1}{ 2} \leq m < 4$
Cách $2$: Vẽ đồ thị $y_{1} = 2t^2 +2t$ trong tập $(A)$
$y_{2}= m$ là đường thẳng song song với $Ot$
Để thỏa mãn điều kiện bài toán thì đồ thị $y_{1}$ phải cắt bỏ đồ thị $y_{2}$ ta được kết quả $-\frac{ 1}{ 2} \leq m <4.$
Cách $3$: Giải phương trình $(2)$: $2t^2 + 2t -m=0    (2)$
Phương trình $(2)$ có nghiệm khi $\Delta ' = 1+2m > 0 \Leftrightarrow m \geq -\frac{ 1}{ 2} (\alpha )$
Với điều kiện $(\alpha )$ phương trình $(2)$ có $2$ nghiệm
             $\left[ \begin{array}{l}
{t_1} = \frac{{ - 1 - \sqrt {1 + 2m} }}{2}\\
{t_2} = \frac{{ - 1 + \sqrt {1 + 2m} }}{2}   thỏa mãn điều kiện bài toán thì :
\end{array} \right.$
hoặc $\left\{ \begin{array}{l}
m \ge - \frac{1}{2}     hoặc   \left\{ \begin{array}{l}
m \ge - \frac{1}{2}\\
- 1 < {t_{2 < 1}}
\end{array} \right.\\
- 1 < {t_1} < 1
\end{array} \right.$
Giải $2$ hệ bất phương trình ta cũng được đáp số giống cách $1.$

Bài 111869

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111869

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan