a) Lấy hai điểm $A,B$ phân biệt thuộc $a$ và gọi $A',B'$ là ảnh của chúng qua $F$.
Lấy hai điểm $C,D$ phân biệt thuộc $b$ và gọi $C',D'$ là ảnh của chúng qua $F$.
* Nếu $a,b$ cắt nhau: Gọi $I$ là giao điểm của $AB$ và $CD$ và $I'$ là ảnh của nó qua $F$.
Từ tính chất của phép dời hình, suy ra:
- $A',B'$ và $I'$ thẳng hàng.
- $C',D'$ và $I'$ thẳng hàng.
Tức là, hai đường thẳng $a',b'$ cắt nhau tại $I'$, đpcm.
* Nếu $a,b$ song song: Giả sử $AB=CD$ thì $ABCD$ là hình bình hành, suy ra $AD=BC$.
Từ tính chất của phép dời hình, suy ra:
$A'B'=C'D'$ và $A'D'=B'C' \Rightarrow A'B'C'D'$ là hình bình hành.
$\Rightarrow A'B' // C'D' \Leftrightarrow a'//b'$,đpcm.
* Nếu $a,b$ chéo nhau: Thì $A,B,C,D$ không đồng phẳng, suy ra bốn điểm $A',B',C',D'$ không đồng phẳng, tức là $a',b'$ chéo nhau.
b) Từ điểm $O$ dựng các tia $Ox,Oy$ theo thứ tự song song với $a,b$.
Gọi $O'x'y'$ là ảnh của $Oxy$ qua $F$, suy ra:
$\begin{cases} \widehat{xOy}= \widehat{x'O'y'} \\ O'x' // a' và O'y'//b'\end{cases} \Rightarrow g(a,b)=\widehat{xOy}= \widehat{x'O'y'} =g(a',b')$
c) Gọi $MN$ là đoạn vuông góc chung của $a$ và $b$, $M'N'$ là ảnh của $MN$ qua $F$, suy ra:
$\begin{cases} MN=M'N' \\ M'N' \bot a' và M'N'\bot b'\end{cases} \Rightarrow d(a,b)=MN=M'N'=d(a',b')$