$1$. Phân tích: Giả sử ta đã dựng được $\Delta OMM'$ thỏa điều kiện bài toán. Thì ta có $M'$ là ảnh của $M$ qua phép đồng dạng $S(O; \sqrt{2}; 45^0 )$
Vì $\frac{OM'}{OM}=\sqrt{2} ; (\widehat{\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{OM'} })=45^0 $
$2$. Cách dựng:
- Dựng đường thẳng $(\Delta _1)$, ảnh của $(\Delta )$ qua $S(O; \sqrt{2}; 45^0 )$ bằng cách hạ $OH \bot (\Delta )$.
- Dựng tam giác $OHK$ vuông cân tại $H$ theo chiều dương.
- Dựng $\Delta _1 \bot (OK)$ tại $K$.
- Dựng giao điểm $M'$ của $\Delta _1$ và $\Delta _2$.
- Dựng $M$ sao cho tam giác $OMM'$ vuông cân tại $M$ theo chiều dương thì $\Delta OMM'$ là tam giác phải dựng.
$3$. Chứng minh: Theo cách dựng ta có $M'$ là ảnh của $M$ qua $S(O; \sqrt{2}; 45^0 )$ nên tam giác $OMM'$ vuông cân tại $M$.
$(\Delta _1)$ là ảnh của $(\Delta)$ qua $S(O; \sqrt{2}; 45^0 )$, mà $M'$ ở trên $(\Delta' )$ nên $M$ ở trên $(\Delta )$.
$4$. Biện luận: $(\Delta ')$ luôn luôn cắt $(\Delta _1)$ tại $1$ điểm, nên bài toán luôn có $1$ nghiệm hình.