a)Ta có:
$[\overrightarrow {u},\overrightarrow {v}]=(1;3;-2) \Rightarrow |[\overrightarrow {u},\overrightarrow {v}]|=\sqrt{1^{2}+3^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{14}$
Ta xét: $[\overrightarrow {u},\overrightarrow {v}].\overrightarrow {w}=2-2=0$
$\Leftrightarrow $ ba vectơ $\overrightarrow {u},\overrightarrow {v}$ và $\overrightarrow {w}$ đồng phẳng.
b) Giả sử
:$\overrightarrow{u}=a\overrightarrow{v}+b\overrightarrow{w}\Leftrightarrow
(4;2;5)=a(3;1;3)+b(2;0;1)$
$\Leftrightarrow\begin{cases}3a+2b=4\\a=2\\3a+b=5\end{cases}\Leftrightarrow
a=2, b=-1$
c) Ta có: $[\overrightarrow {w},\overrightarrow {v}]=(-1;-3;2)$
Nhận xét rằng:
$\begin{cases} \overrightarrow {n} \bot \overrightarrow {w} \\ \overrightarrow {n} \bot \overrightarrow {v}\end{cases} \Leftrightarrow \overrightarrow {n}(-t;-3t;2t)$
Để $|\overrightarrow {n}|=2\sqrt{14}$ điều kiện là:
$2\sqrt{14}=\sqrt{(-t)^{2}+(-3t)^{2}+(2t)^{2}}=\sqrt{14t^{2}} \Leftrightarrow 4=t^{2}$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=2 \\ t=-2 \end{array}
\right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\overrightarrow{n_{1}}(-2;-6;4) \\ \overrightarrow {n_{2}}(2;6;-4)
\end{array} \right. $
Vậy tồn tại hai vectơ $\overrightarrow {n_{1}}(-2;-6;4)$ và $\overrightarrow {n_{2}}(2;6;-4)$ thỏa mãn điều kiện đầu bài.