|
|
Trước tiên ta đi chứng minh mệnh đề "Điểm $G$ là trọng tâm của tứ diện $ABCD$,ta luôn có:
$\overrightarrow {MA}+\overrightarrow {MB}+\overrightarrow {MC}+\overrightarrow {MD}=4.\overrightarrow {MG}$,với mọi điểm M",thật vậy:
Gọi $I$ và $J$ theo thứ tự là trung điểm của $AB,CD$,sử dụng quy tắc ba điểm bằng cách xen vào giữa,ta lần lượt có:
$\overrightarrow {MA}=\overrightarrow {MG}+\overrightarrow {GA}$
$\overrightarrow {MB}=\overrightarrow {MG}+\overrightarrow {GB}$
$\overrightarrow {MC}=\overrightarrow {MG}+\overrightarrow {GC}$
$\overrightarrow {MD}=\overrightarrow {MG}+\overrightarrow {GD}$
Suy ra:
$\overrightarrow {MA}+\overrightarrow {MB}+\overrightarrow {MC}+\overrightarrow {MD}=4.\overrightarrow {MG}+(\overrightarrow {GA}+\overrightarrow {GB}+\overrightarrow {GC}+\overrightarrow {GD})$
$=4.\overrightarrow {MG}$,đpcm.
Trở lại bài toán,đặt $\overrightarrow {a}=\overrightarrow {AB},\overrightarrow {b}=\overrightarrow {AD},\overrightarrow {c}=\overrightarrow {AA'}$
Trước tiên ta luôn có: $\overrightarrow {GG'}=\overrightarrow {AG'}-\overrightarrow {AG}$ (1)
*Vì $G$ là trọng tâm tứ diện $A'D'MN$ nên:
$4.\overrightarrow {AG}=\overrightarrow {AA'}+\overrightarrow {AD'}+\overrightarrow {AM}+\overrightarrow {AN}$
$=\overrightarrow {AA'}+(\overrightarrow {AA'}+\overrightarrow {AD})+(\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {DM})+(\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {DN})$
$=\overrightarrow {c}+\overrightarrow {c}+\overrightarrow {b}+\overrightarrow {b}+\frac{1}{2}\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}\frac{1}{2}\overrightarrow {c}=\frac{1}{2}\overrightarrow {a}+3.\overrightarrow {b}+\frac{5}{2}\overrightarrow {c}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow {AG}=\frac{1}{8}\overrightarrow {a}+\frac{3}{4}\overrightarrow {b}+\frac{5}{8}\overrightarrow {c}$ (2)
*Vì $G'$ là trọng tâm tứ diện $BCC'D'$ nên:
$4.\overrightarrow {AG'}=\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {AC'}+\overrightarrow {AD'}$
$=\overrightarrow {AB}+(\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AD})+(\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {AA'})+(\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {AA'})$
$=\overrightarrow {a}+\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}+\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}+\overrightarrow {c}+\overrightarrow {b}+\overrightarrow {c}=3\overrightarrow {a}+3\overrightarrow {b}+2\overrightarrow {c}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow {AG'}=\frac{3}{2}\overrightarrow {a}+\frac{3}{4}\overrightarrow {b}+\frac{1}{2}\overrightarrow {c}$ (3)
Thay (2),(3) vào (1) ta được:
$\overrightarrow {GG'}=(\frac{3}{2}\overrightarrow {a}+\frac{3}{4}\overrightarrow {b}+\frac{1}{2}\overrightarrow {c})-(\frac{1}{8}\overrightarrow {a}+\frac{3}{4}\overrightarrow {b}+\frac{5}{8}\overrightarrow {c})=\frac{5}{8}\overrightarrow {a}-\frac{1}{8}\overrightarrow {C}$
$\Rightarrow $ Bộ ba vectơ $\overrightarrow {GG'},\overrightarrow {a},\overrightarrow {c}$ đồng phẳng.
$\Rightarrow GG'//(ABB'A')$,đpcm.
|