|
|
Trước tiên ta đi chứng minh mệnh đề "Điểm G là trọng tâm của tứ diện ABCD,ta luôn có:
→MA+→MB+→MC+→MD=4.→MG,với mọi điểm M",thật vậy:
Gọi I và J theo thứ tự là trung điểm của AB,CD,sử dụng quy tắc ba điểm bằng cách xen vào giữa,ta lần lượt có:
→MA=→MG+→GA
→MB=→MG+→GB
→MC=→MG+→GC
→MD=→MG+→GD
Suy ra:
→MA+→MB+→MC+→MD=4.→MG+(→GA+→GB+→GC+→GD)
=4.→MG,đpcm.
Trở lại bài toán,đặt →a=→AB,→b=→AD,→c=→AA′
Trước tiên ta luôn có: →GG′=→AG′−→AG (1)
*Vì G là trọng tâm tứ diện A′D′MN nên:
4.→AG=→AA′+→AD′+→AM+→AN
=→AA′+(→AA′+→AD)+(→AD+→DM)+(→AD+→DN)
=→c+→c+→b+→b+12→a+→b12→c=12→a+3.→b+52→c
⇔→AG=18→a+34→b+58→c (2)
*Vì G′ là trọng tâm tứ diện BCC′D′ nên:
4.→AG′=→AB+→AC+→AC′+→AD′
=→AB+(→AB+→AD)+(→AB+→AD+→AA′)+(→AD+→AA′)
=→a+→a+→b+→a+→b+→c+→b+→c=3→a+3→b+2→c
⇔→AG′=32→a+34→b+12→c (3)
Thay (2),(3) vào (1) ta được:
→GG′=(32→a+34→b+12→c)−(18→a+34→b+58→c)=58→a−18→C
⇒ Bộ ba vectơ →GG′,→a,→c đồng phẳng.
⇒GG′//(ABB′A′),đpcm.
|