Bài 111465

Question

Cho hình vuông

$ABCD$ tâm

$O$ , cạnh

$a.$ .Qua hai đỉnh

$B,D$ ta kẻ hai tia

$Bx,Dy$ cùng chiều và cùng vuông góc với

$mp(ABCD)$ .Một điểm

$M$ thuộc

$Bx$ và một điểm

$N$ thuộc

$Dy$ thỏa mãn hệ thức.

$BM.DN=\frac{a^2}{2}$
Đặt

$\alpha =\widehat{BOM}$ và

$\beta =\widehat{DON}$

$a.$ Chứng minh hệ thức

$\tan \alpha .\tan \beta =1$

$b.$ Chứng minh

$MN\bot AC$

$c.$ Chứng minh

$(ACM)\bot (CAN)$

$d.$ Chứng minh

$(AMN)\bot (CMN)$

$e.$ Gọi

$H$ là hình chiếu vuông góc của

$O$ trên

$MN$ .Chứng minh :

$AH\bot HC$

score 0 · Answer 1

$a.$ Ta có

$OB=OD=\frac{a\sqrt{2} }{2}$

$\tan \alpha =\frac{BM}{OB};\tan \beta =\frac{DN}{OD}$

$\Rightarrow \tan \alpha .\tan \beta =\frac{BM.DN}{OB.OD}$

$\Rightarrow \tan \alpha .\tan \beta =\frac{\frac{a^2}{2} }{\frac{a\sqrt{2} }{2}.\frac{a\sqrt{2} }{2} }$

$\Rightarrow \tan \alpha .\tan \beta =1$

$\Rightarrow \alpha ,\beta$ là hai góc phụ nhau

$\alpha +\beta =90^0$

$b.$ Ta có

$AC\bot (BMND)\Rightarrow AC\bot MN$

$c.$ Do

$\alpha +\beta =90^0\Rightarrow \widehat{MON}=90^0$
Hai mặt phẳng

$(ACM),(ACN)$ cắt nhau theo giao tuyến

$AC$
Ta đã có

$AC\bot (BMND)\Rightarrow OM\bot AC$ và

$ON\bot AC$

$\Rightarrow$ góc giữa hai mặt phẳng

$(ACM),(ACN)$ bằng góc giữa hai đường thẳng

$OM,ON$

$\widehat{MON}=90^0\Rightarrow$ góc giữa hai mặt phẳng

$(ACM),(ACN)$ bằng

$90^0$ cho ta

$(ACM)\bot (ACN)$

$d.$ Kẻ đường cao

$OH$ của tam giác

$OMN$ .Trong tam giác vuông

$MON$ ta có

$\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OM^2}+\frac{1}{ON^2}$
với

$OM=\frac{OB}{\cos \alpha }; ON=\frac{OB}{\cos \beta }$ và vì

$\alpha +\beta =90^0$
nên

$\cos \beta =\sin \alpha$ tìm được

$\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OB^2}\Rightarrow OH=OB$
hay

$OH=\frac{1}{2} AC\Rightarrow \Delta AHC$ vuông tại

$H$

$\Rightarrow AH\bot HC (1)$
Ta cũng có

$\left.\begin{matrix}MN\bot OH \\ MN\bot AC\end{matrix}\right\} \Rightarrow MN\bot (AHC)$

$\Rightarrow AH\bot MN (2)$
Từ

$(1),(2)$ suy ra

$AH\bot (CMN)$
mà

$AH\subset (AMN)$

$\Rightarrow (AMN)\bot (CMN)$

Bài 111465

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111465

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan