Bài 111465

Question

Cho hình vuông $ABCD$ tâm $O$, cạnh $a.$.Qua hai đỉnh $B,D$ ta kẻ hai tia $Bx,Dy$ cùng chiều và cùng vuông góc với $mp(ABCD)$.Một điểm $M$ thuộc $Bx$ và một điểm $N$ thuộc $Dy$ thỏa mãn hệ thức.
$BM.DN=\frac{a^2}{2} $
Đặt $\alpha =\widehat{BOM} $ và $\beta =\widehat{DON} $
$a.$ Chứng minh hệ thức $\tan \alpha .\tan \beta =1$
$b.$ Chứng minh $MN\bot AC$
$c.$ Chứng minh $(ACM)\bot (CAN)$
$d.$ Chứng minh $(AMN)\bot (CMN)$
$e.$ Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên $MN$.Chứng minh : $AH\bot HC$

score 0 · Answer 1

$a.$ Ta có $OB=OD=\frac{a\sqrt{2} }{2}   $
$\tan \alpha =\frac{BM}{OB};\tan \beta =\frac{DN}{OD} $
$\Rightarrow \tan \alpha .\tan \beta =\frac{BM.DN}{OB.OD} $
$\Rightarrow \tan \alpha .\tan \beta =\frac{\frac{a^2}{2} }{\frac{a\sqrt{2} }{2}.\frac{a\sqrt{2} }{2} } $
$\Rightarrow \tan \alpha .\tan \beta =1$
$\Rightarrow \alpha ,\beta $ là hai góc phụ nhau $\alpha +\beta =90^0$
$b.$ Ta có $AC\bot (BMND)\Rightarrow AC\bot MN$
$c.$ Do $\alpha +\beta =90^0\Rightarrow \widehat{MON}=90^0 $
Hai mặt phẳng $(ACM),(ACN)$ cắt nhau theo giao tuyến $AC$
Ta đã có
$AC\bot (BMND)\Rightarrow OM\bot AC$ và $ON\bot AC$
$\Rightarrow $ góc giữa hai mặt phẳng $(ACM),(ACN)$ bằng góc giữa hai đường thẳng $OM,ON$
$\widehat{MON}=90^0\Rightarrow   $ góc giữa hai mặt phẳng $(ACM),(ACN)$ bằng $90^0$ cho ta $(ACM)\bot (ACN)$
$d.$ Kẻ đường cao $OH$ của tam giác $OMN$.Trong tam giác vuông $MON$ ta có
$\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OM^2}+\frac{1}{ON^2}   $
với $OM=\frac{OB}{\cos \alpha }; ON=\frac{OB}{\cos \beta } $ và vì $\alpha +\beta =90^0$
nên $\cos \beta =\sin \alpha $ tìm được
$\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OB^2}\Rightarrow OH=OB $
hay $OH=\frac{1}{2} AC\Rightarrow \Delta AHC$ vuông tại $H$
$\Rightarrow AH\bot HC         (1)$
Ta cũng có $\left.\begin{matrix}MN\bot OH \\ MN\bot AC\end{matrix}\right\} \Rightarrow MN\bot (AHC)$
$\Rightarrow AH\bot MN          (2)$
Từ $(1),(2)$ suy ra
$AH\bot (CMN)$
mà $AH\subset (AMN)$
$\Rightarrow (AMN)\bot (CMN)$

Bài 111465

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111465

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan