Bài 111464

Question

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi tâm $O$, cạnh $a$ và đường chéo $BD=\frac{2a\sqrt{3} }{3} ;SO\bot (ABCD)$ và $SB=SD=a$
$a.$ Chứng minh $SA\bot SC$
$b.$ Chứng minh $BD\bot SC$
$c.$ Chứng minh $(SAB)\bot (SAD)$

score 0 · Answer 1

$a.$ Ta có $OB=\frac{a\sqrt{3} }{3} ;AB=a$
$\Rightarrow OA=\frac{a\sqrt{6} }{3} \Rightarrow AC=\frac{2a\sqrt{6} }{3} $
Mặt khác $SD=SB\Rightarrow SO\bot DB$
$SO^2=SB^2-OB^2\Rightarrow SO=\frac{a\sqrt{6} }{3} $
Vì $SO=\frac{1}{2} AC\Rightarrow \Delta ASC$ vuông tại $S\Rightarrow SA\bot SC$
$b.$
$\left.\begin{matrix}BD\bot AC \\DB\bot SO \end{matrix}\right\} \Rightarrow DB\bot (SAC)\Rightarrow DB\bot AC$
$c.$ Gọi $I$ là trung điểm của $SA\Rightarrow DI\bot SA,BI\bot SA$
$\Rightarrow \widehat{DIB} $ là góc hợp bởi hai mặt phẳng $(SAB),(SAD)$
Ta có $SO=\frac{a\sqrt{6} }{3} ;OA=\frac{a\sqrt{6} }{3} \Rightarrow SA=\frac{2a\sqrt{3} }{3} $
Từ đây theo công thức trung tuyến ( hệ thức lượng trong tam giác ) ta tính được :
$DI^2=BI^2=\frac{6a^2}{9} $
Áp dụng định lí cosin vào tam giác $DIB$
$\Rightarrow DB^2=DI^2+BI^2-2DI.BI.cos\widehat{DIB} $
$\Rightarrow cos\widehat{DIB}=0\Rightarrow \widehat{DIB}=90^0 $
$\Rightarrow (SAB)\bot (SAD)$

Bài 111464

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111464

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan