Bài 111453

Question

Cho hình lập phương

$ABCD.A'B'C'D'$ . Gọi

$M$ và

$N$ lần lượt là các điểm thuộc

$AD'$ và

$DB$ sao cho

$\overrightarrow {MA}=k.\overrightarrow {MD},\overrightarrow {ND}=k.\overrightarrow {NB} (k \neq 0,k \neq 1)$
a) Chứng minh rằng

$MN$ song song với mặt phẳng

$(A'BC)$
b) Khi

$MN$ và

$AC'$ song song với nhau. Chứng minh rằng

$MN$ vuông góc với

$AD'$ và

$DB$

score 0 · Answer 1

a.Từ giả thiết

$\overrightarrow {MA}=k.\overrightarrow {MD'},\overrightarrow {ND}=k.\overrightarrow {NB}(k \neq 0,k \neq 1),$ suy ra:

$\frac{AM}{MD'}=\frac{DN}{NB}\Leftrightarrow AD,MN,D'B$ theo thứ tự thuộc ba mặt phẳng song song

$\Rightarrow MN// (A'BCD') \Rightarrow MN// (A'BC)$ ,đpcm.
b.Để

$MN // A'C$ song song với nhau điều kiện là:

$\overrightarrow {MN}=m.\overrightarrow {A'C}\Leftrightarrow \frac{1+k}{1-k}\overrightarrow {c}+\frac{k}{1-k}(\overrightarrow {a}-\overrightarrow {b})=m(-\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}+\overrightarrow {c})$

$\Leftrightarrow \frac{k}{1-k}\overrightarrow {a}-\frac{k}{1-k}\overrightarrow {b}+\frac{1+k}{1-k}\overrightarrow {c}=-m.\overrightarrow {a}+m.\overrightarrow {b}+m.\overrightarrow {c}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} \frac{k}{1-k}=-m \\ -\frac{k}{1-k}=m \\ \frac{1+k}{1-k}=m \end{cases} \Leftrightarrow -k=1+k \Leftrightarrow k=-\frac{1}{2}$
Khi đó ta được

$\overrightarrow {MN}=-\frac{1}{3}(\overrightarrow {a}-\overrightarrow {b}-\overrightarrow {c})$
và do đó:

$\overrightarrow {MN}.\overrightarrow {AD'}=\overrightarrow {MN}.(\overrightarrow {AA'}+\overrightarrow {AD})=-\frac{1}{3}(\overrightarrow {a}-\overrightarrow {b}-\overrightarrow {c})(\overrightarrow {a}+\overrightarrow {c})=0$

$\Leftrightarrow MN \bot AD'$

$\overrightarrow {MN}.\overrightarrow {DB}=\overrightarrow {MN}.(\overrightarrow {DA}+\overrightarrow {DC})=-\frac{1}{3}(\overrightarrow {a}-\overrightarrow {b}-\overrightarrow {c})(\overrightarrow {b}-\overrightarrow {c})=0$

$\Leftrightarrow MN \bot DB$

Bài 111453

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111453

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan