Bài 111444

Question

Cho tứ diện

$ABCD; I,J$ theo thứ tự là trung điểm của

$AB,CD$ . Điểm

$M$ thuộc

$AC$ sao cho

$\overrightarrow {MA}=k_{1}\overrightarrow {MC}; N$ thuộc

$BD$ sao cho

$\overrightarrow {NB}=k_{2}\overrightarrow {ND}$
Chứng minh rằng bốn điểm

$I,J,M,N$ cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi

$k_{1}=k_{2}$

score 0 · Answer 1

Trước tiên ta có ngay:

$\overrightarrow {IJ}=\frac{1}{2}(\overrightarrow {IC}+\overrightarrow {ID})$
Từ giả thiết

$\overrightarrow {MA}=k_{1}\overrightarrow {MC}$ ,suy ra:

$\overrightarrow {IA}-\overrightarrow {IM}=k_{1}(\overrightarrow {IC}-\overrightarrow {IM})\Leftrightarrow \overrightarrow {IM}=\frac{1}{1-k_{1}}\overrightarrow {IA}-\frac{k_{1}}{1-k_{1}}\overrightarrow {IC}$
Từ giả thiết

$\overrightarrow {NB}=k_{2}\overrightarrow {ND}$ ,suy ra:

$\overrightarrow {IB}-\overrightarrow {IN}=k_{2}(\overrightarrow {ID}-\overrightarrow {IN})$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {IN}=\frac{1}{1-k_{2}}\overrightarrow {IB}-\frac{k_{2}}{1-k_{2}}\overrightarrow {ID}=-\frac{1}{1-k_{2}}\overrightarrow {IA}-\frac{k_{2}}{1-k_{2}}\overrightarrow {ID}$
Để các điểm

$I,J,M,N$ đồng phẳng điều kiện là:

$\overrightarrow {IM}=p.\overrightarrow {IN}+q.\overrightarrow {IJ}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{1-k_{1}}\overrightarrow {IA}-\frac{k_{1}}{1-k_{1}}\overrightarrow {IC}=p(-\frac{1}{1-k_{2}}\overrightarrow {IA}-\frac{k_{2}}{1-k_{2}}\overrightarrow {ID})+\frac{q}{2}(\overrightarrow {IC}+\overrightarrow {ID})$

$\Leftrightarrow (\frac{1}{1-k_{1}}+\frac{p}{1-k_{2}})\overrightarrow {IA}-(\frac{k_{1}}{1-k_{1}}+\frac{q}{2})\overrightarrow {IC}+(p\frac{k_{2}}{1-k_{2}}-\frac{q}{2})\overrightarrow {ID}=\overrightarrow {0}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} \frac{1}{1-k_{1}}+\frac{p}{1-k_{2}}=0\\ \frac{k_{1}}{1-k_{1}}+\frac{q}{2}=0 \\ p\frac{k_{2}}{1-k_{2}}-\frac{q}{2}=0 \end{cases} \Leftrightarrow \frac{k_{1}}{1-k_{1}}=-\frac{pk_{2}}{1-k_{2}}=\frac{k_{2}}{1-k_{1}}$

$\Rightarrow k_{1}=k_{2}$ ,đpcm.

Bài 111444

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111444

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan