Bài 111443

Question

Cho ba tia $Ox,Oy,Oz$ không đồng phẳng và đôi một vuông góc với nhau.Trên các tia $Ox,Oy,Oz$ theo thứ tự, lấy các điểm $A,B,C$ và $H$ là một điểm thuộc mặt phẳng $(ABC)$
$a.$ Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để $OH\bot (ABC)$ là $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$
$b.$ Chứng minh rằng khi $OH\bot (ABC)$ thì hệ thức sau đây được thỏa mãn
$\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}+\frac{1}{OC^2} $
$c.$ Chứng minh rằng tam giác $ABC$ là tam giác nhọn

score 0 · Answer 1

$a.$ Ta chứng minh hai mệnh đề
- Giả sử $OH\bot (ABC)$ thì $H$ là trực tâm của $\Delta ABC$
$\left.\begin{matrix}OC\bot OA \\OC\bot OB \end{matrix}\right\} \Rightarrow OC\bot (OAB)$
$\Rightarrow OC\bot AB      (1)$
Vì $OH\bot (ABC),AB\subset (ABC)$
$\Rightarrow OH\bot AB          (2)$
Từ $(1),(2)$ cho ta
$AB\bot (OCH)$
$\Rightarrow AB\bot CH$ hay $CH$ là đường cao của $\Delta ABC$ chứng minh tương tự, ta có $BH$ là đường cao thứ hai của $\Delta ABC$ hay $H$ là trực tâm của $\Delta ABC$
- Giả sử $H$ là trực tâm của $\Delta ABC$ thì $OH\bot (ABC)$
Ta có : Vì $H$ là trực tâm của $\Delta ABC$ nên $CD\bot AB$
Kết hợp với $OC\bot AB$
$\Rightarrow AB\bot (OHC)\Rightarrow AB\bot OH             (3)$
Tương tự ta có $AC\bot OH              (4)$
Từ $(3),(4)$ suy ra $OH\bot (ABC)$
$b.$ Khi $OH\bot (ABC)$ thì $H$ là trực tâm của tam giác $ABC: AD\bot AB$ và $OD\bot AB$
Trong tam giác vuông $OAB;OD$ là đường cao cho ta
$\frac{1}{OD^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}               (5)$
Trong tam giác vuông $COD,OH$ là đường cao
$\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OC^2}+\frac{1}{OD^2}                (6)$
Từ $(5),(6)$ suy ra đpcm
$c.$ Áp dụng định lí cosin vào tam giác $ABC$ ta có
$cosA=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB.AC} $
Với $AB^2=OA^2+OB^2$
$AC^2=OA^2+OC^2$
$BC^2=OB^2+OC^2$
$\Rightarrow cosA=\frac{OA^2}{AB.AC}>0 $
$\Rightarrow \widehat{A}<90^0 $
Tương tự ta chứng minh được $\widehat{B}<90^0 $ và $\widehat{C}<90^0 $

Bài 111443

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111443

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan