Bài 111443

Question

Cho ba tia

$Ox,Oy,Oz$ không đồng phẳng và đôi một vuông góc với nhau.Trên các tia

$Ox,Oy,Oz$ theo thứ tự, lấy các điểm

$A,B,C$ và

$H$ là một điểm thuộc mặt phẳng

$(ABC)$

$a.$ Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để

$OH\bot (ABC)$ là

$H$ là trực tâm của tam giác

$ABC$

$b.$ Chứng minh rằng khi

$OH\bot (ABC)$ thì hệ thức sau đây được thỏa mãn

$\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}+\frac{1}{OC^2}$

$c.$ Chứng minh rằng tam giác

$ABC$ là tam giác nhọn

score 0 · Answer 1

$a.$ Ta chứng minh hai mệnh đề
- Giả sử

$OH\bot (ABC)$ thì

$H$ là trực tâm của

$\Delta ABC$

$\left.\begin{matrix}OC\bot OA \\OC\bot OB \end{matrix}\right\} \Rightarrow OC\bot (OAB)$

$\Rightarrow OC\bot AB (1)$
Vì

$OH\bot (ABC),AB\subset (ABC)$

$\Rightarrow OH\bot AB (2)$
Từ

$(1),(2)$ cho ta

$AB\bot (OCH)$

$\Rightarrow AB\bot CH$ hay

$CH$ là đường cao của

$\Delta ABC$ chứng minh tương tự, ta có

$BH$ là đường cao thứ hai của

$\Delta ABC$ hay

$H$ là trực tâm của

$\Delta ABC$
- Giả sử

$H$ là trực tâm của

$\Delta ABC$ thì

$OH\bot (ABC)$
Ta có : Vì

$H$ là trực tâm của

$\Delta ABC$ nên

$CD\bot AB$
Kết hợp với

$OC\bot AB$

$\Rightarrow AB\bot (OHC)\Rightarrow AB\bot OH (3)$
Tương tự ta có

$AC\bot OH (4)$
Từ

$(3),(4)$ suy ra

$OH\bot (ABC)$

$b.$ Khi

$OH\bot (ABC)$ thì

$H$ là trực tâm của tam giác

$ABC: AD\bot AB$ và

$OD\bot AB$
Trong tam giác vuông

$OAB;OD$ là đường cao cho ta

$\frac{1}{OD^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2} (5)$
Trong tam giác vuông

$COD,OH$ là đường cao

$\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OC^2}+\frac{1}{OD^2} (6)$
Từ

$(5),(6)$ suy ra đpcm

$c.$ Áp dụng định lí cosin vào tam giác

$ABC$ ta có

$cosA=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB.AC}$
Với

$AB^2=OA^2+OB^2$

$AC^2=OA^2+OC^2$

$BC^2=OB^2+OC^2$

$\Rightarrow cosA=\frac{OA^2}{AB.AC}>0$

$\Rightarrow \widehat{A}<90^0$
Tương tự ta chứng minh được

$\widehat{B}<90^0$ và

$\widehat{C}<90^0$

Bài 111443

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111443

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan