Bài 111323

Question

Cho $A(4;5)$ và Elip $(E):\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2} =1 $
a. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc Elip $(E)$ sao cho đoạn $AM$ ngắn nhất.
b. Chứng tỏ rằng nếu đoạn $AM$ ngắn nhất, thì $AM$ vuông góc với tiếp tuyến tại $M$ của Elip

hoàng anh thọ · Answer 1 · 7/10/2012 4:32:50 PM

a. Điểm $M(x_0;y_0)\in (E)$ với $x_0\geq 0$ ta có: $\frac{x_0^2}{8}+\frac{y_0^2}{2}=1 \Leftrightarrow x_0^2 +4y_0^2=8\Leftrightarrow x_0=2\sqrt{2-y_0^2} (1)$
Khoảng cách từ $AM$ được xác định bởi:
$AM^2=(x_0-4)^2+(y_0-5)^2=(2\sqrt{2-y_0^2}-4 )^2+(y_0-5)^2$
$=4(2-y_0^2)-16\sqrt{2-y_0^2}+16+y_0^2-10y_0+25 $
$=5(y_0-1)^2+8(\sqrt{2-y_0} )^2+20\geq 20$
Vậy $AM_{Min}=\sqrt{20} $ đạt được khi $\begin{cases}y_0-1=0 \\ \sqrt{2-y_0^2}=0 \end{cases} \Leftrightarrow y_0=1$ thay vào $(1)\Rightarrow M(2;1)$

b. Ta có:
- Tiếp tuyến tại $M$ của Elip $(E)$ có dạng; $(d):\frac{2x}{8}+\frac{y}{2}=1\Leftrightarrow (d):x+2y-4=0 $
- Đường thẳng $AM$ có hệ số góc $k_{AM}=\frac{y_M-y_A}{x_M-x_A}=2 $
Nhận xét rằng $k_d.k_{AM}=-\frac{1}{2}.2=-1\Leftrightarrow (d)\bot AM $
Vậy $AM$ ngắn nhất, thì $AM$ vuông góc với tiếp tuyến tại $M$ của Elip

Bài 111323

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111323

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan