Bài 111169

Question

Cho tứ diện $ABCD$, gọi $G_1,G_2$ theo thứ tự là trọng tâm của các tam giác $ABD,ACD,M$ là điểm thỏa mãn hệ thức véctơ : $2\overrightarrow {MC}+\overrightarrow {MD}=\overrightarrow {0} $
$a.$ Chứng minh $G_1M//(ABC)$
$b.$ Biết $AB=BC=CA=a$.Tính độ dài đoạn thẳng $G_1M$ theo $a$
$c.$ Chứng minh $(MG_1G_2)//(ABC)$
$d.$ Tính diện tích thiết diện của tứ diện theo $a$ khi cắt bởi mặt phẳng $(MG_1G_2)$

score 0 · Answer 1

$a.$ Hệ thức $2\overrightarrow {MC}+\overrightarrow {MD}=\overrightarrow {0} $ chứng tỏ điểm $M$ thuộc đoạn thẳng $CD$ và chỉa $CD$ theo tỉ số.
$\frac{MC}{MD}=\frac{1}{2} $
Từ $M$ kẻ $MN//BC\Rightarrow \frac{NB}{ND}=\frac{1}{2} $
Gọi $F$là trung điểm của $BD$, từ tỉ số trên ta suy ra :
$\frac{NF}{NB}=\frac{1}{2} $
Ta cũng có : $\frac{G_1F}{G_1A}=\frac{1}{2} $
$\Rightarrow \frac{NF}{NB}=\frac{G_1F}{G_1A} \Rightarrow NG_1//AB$
$\left.\begin{matrix} MN//BC\\ NG_1//AB\end{matrix}\right\} \Rightarrow (NG_1M)//(ABC)$
$G_1M\subset (NG_1M)$
$\Rightarrow G_1M//(ABC)$
$b.$ Gọi $Q$ là trung điểm của $AB$ ta có $G_1M//QC$ và $G_1M=\frac{2}{3} QC$, suy ra $G_1M=\frac{a\sqrt{3} }{3} $
$c.$ Dễ thấy $G_2\in (NG_1M)$

$d.$ Gọi $P$ là giao điểm của $G_2M$ và $AD$.Ta chứng minh được $P\in G_1M\Rightarrow $ thiết diện của tứ diện $ABCD$ với mặt phẳng $(MG_1G_2)$ là tam giác đều $MNP$ có cạnh $MN=\frac{2}{3} a$
$\Rightarrow S_{MNP}=\frac{a^2\sqrt{3} }{9} $

Bài 111169

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111169

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan