Bài 111115

Question

Cho đường tròn tâm $O$, bán kính $R, P$ là điểm cố định ở trong đường tròn, $OP=d<R$, một góc vuông quay quanh điểm $P$, hai cạnh $P_x, P_y$ của nó cắt đường tròn tại $A, B$. Chiếu vuông góc $O, P$ xuống $AB$ thành $M, N$.
a) So sánh $MO^2+MP^2$ với $NO^2+NP^2$ và tính chúng theo $R$.
b) Tìm tập hợp các điểm $M, N$.
c) Tìm tập hợp đỉnh thứ tư $Q$ của hình chữ nhật $PAQB$.

score 0 · Answer 1

a) Ta có:
$ON^2+NP^2=OM^2+MN^2+NP^2=OM^2+MP^2=OM^2+MB^2=OB^2=R^2$.

b) Gọi $J$ là trung điểm của $PO$
Theo công thức đường trung tuyến, ta có :
$4JN^2=2(NO^2+NP^2)-OP^2=2R^2-d^2$
tương tự như vậy,
Ta có: $JM=JN=\frac{1}{2}\sqrt{2R^2-d^2} $
$\Leftrightarrow    M, N$ nằm trên đường tròn tâm $J$, bán kính bằng $\sqrt{\frac{2R^2-d^2}{4} } $.

c) Vì $M$ là trung điểm của $AB$ nên $M$ cũng là trung điểm của $PQ$.
Theo công thức đường trung tuyến, ta có :
$OQ^2+OP^2=2OM^2+\frac{PQ^2}{2}=2OM^2+2PM^2=2R^2$
$\Rightarrow     OQ^2=2R^2-d^2     \Rightarrow     OQ=\sqrt{2R^2-d^2} $
Vậy tập hợp các điểm $Q$ là đường tròn tâm $O$, bán kính bằng $\sqrt{2R^2-d^2}. $

Bài 111115

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111115

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan