Bài 111054

Question

Cho hai đường tròn $(O;r) và (O; R)$ với $r<R$. Điểm $P$ cố định trên $(O; r)$. Điểm $B$ di động trên $(O; R), PB$ cắt $(O; R)$ tại điểm thứ hai là $C$. Đường thẳng vuông góc với $BC$ tại $P$, cắt $(O; r)$ tại điểm thứ hai là $A$.
a) Tính $T=AB^2+BC^2+CA^2$ theo $R, r$.
b) Tìm tập hợp các trung điểm $M$ của $AB$.

score 0 · Answer 1

Bình chọn tăng 0 Bình chọn giảm

a) Gọi $A_1=PC\cap (O; r), A_1 \neq P,$ và   $N$ là trung điểm của $PA_1$. Ta có:
$T=BC^2+2PA^2+PC^2+PB^2$
$=2BC^2+2PA^2-2PB.PC$
$=8OB^2-8ON^2+8ON^2-2(NB^2-NP^2)$
$=8R^2-2(OB^2-OP^2)=6R^2+2r^2$ .

b) Ta có:
$4OM^2+4MP^2=BA_1^2+BA^2=2BO^2+\frac{1}{2}A_1A^2 $
$\Rightarrow    OM^2+MP^2=\frac{1}{2}(r^2+R^2) $
$\Rightarrow    2MI^2+\frac{1}{2}PO^2=\frac{1}{2}PO^2+\frac{R^2}{2}   (I$ là trung điểm của $PO$)
$\Rightarrow    MI^2=\frac{R^2}{4}     \Rightarrow     MI=\frac{R}{2} $
Vậy tập hợp các điểm $M$ là đường tròn tâm $I$, bán kính $\frac{R}{2}. $

Bài 111054

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111054

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan