Bài 110911

Question

Cho

$\Delta ABC$ cân tại

$A, \widehat{A}=\alpha, AB=m, D$ là điểm trên cạnh

$BC$ , sao cho

$BC=3BD$ .
a) Tính

$BC$ .
b) Tính

$AD$ theo

$m,\alpha$ .
c) Chứng tỏ rằng đường tròn ngoại tiếp các tam giác

$ABD, ACD$ bằng nhau. Tính

$\cos \alpha$ để bán kính của chúng bằng

$\frac{1}{2}R$ (

$R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp

$\Delta ABC$ .)

score 0 · Answer 1

a) Ta có:

$\frac{BC}{2}=BM=AB.\sin \frac{\alpha}{2}.$ (

$M$ là trung điểm của

$BC$ ).

$\Rightarrow BC=2AB.\sin \frac{\alpha}{2}=2m.\sin \frac{\alpha}{2}.$

b) Áp dụng định lý cosin:

$AD^2=m^2+(\frac{2}{3}m.\sin \frac{\alpha}{2} )^2-2m.\frac{2m}{3}\sin \frac{\alpha}{2}.\cos B$

$=m^2[1+\frac{4}{9}(\sin \frac{\alpha}{2} )^2 ]-\frac{4}{3}m^2\sin \frac{\alpha}{2}.\sin \frac{\alpha}{2}$

$=m^2[1-\frac{8}{9}(\sin \frac{\alpha}{2} )^2 ]$

$=\frac{m^2}{9}(5+4 \cos \alpha)$

$\Rightarrow AD=\frac{m}{3} \sqrt{5+4 \cos \alpha}$ .

c) Đpcm

$\Leftrightarrow \frac{AD}{\sin B}=\frac{AD}{\sin C} \Leftrightarrow \sin B=\sin C$ (hiển nhiên)
Đpcm

$\Leftrightarrow \frac{AD}{\sin B}=\frac{1}{2}.\frac{AC}{ \sin B} \Leftrightarrow AC=2AD$

$\Leftrightarrow m=\frac{2m}{3}\sqrt{5+4 \cos \alpha}$

$\Leftrightarrow 9=4(5+4 \cos \alpha) \Leftrightarrow \cos \alpha=-\frac{11}{16}.$

1 Đáp án