Bài 110911

Question

Cho $\Delta ABC$ cân tại $A, \widehat{A}=\alpha, AB=m, D $ là điểm trên cạnh $BC$, sao cho $BC=3BD$.
a) Tính $BC$.
b) Tính $AD$ theo $m,\alpha$.
c) Chứng tỏ rằng đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ABD, ACD$ bằng nhau. Tính $\cos \alpha$ để bán kính của chúng bằng $\frac{1}{2}R $ ($R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.)

score 0 · Answer 1

a) Ta có: $\frac{BC}{2}=BM=AB.\sin \frac{\alpha}{2}. $ ($M$ là trung điểm của $BC$).
$\Rightarrow    BC=2AB.\sin \frac{\alpha}{2}=2m.\sin \frac{\alpha}{2}. $

b) Áp dụng định lý cosin:
$AD^2=m^2+(\frac{2}{3}m.\sin \frac{\alpha}{2} )^2-2m.\frac{2m}{3}\sin \frac{\alpha}{2}.\cos B   $
          $=m^2[1+\frac{4}{9}(\sin \frac{\alpha}{2} )^2 ]-\frac{4}{3}m^2\sin \frac{\alpha}{2}.\sin \frac{\alpha}{2}$
        $=m^2[1-\frac{8}{9}(\sin \frac{\alpha}{2} )^2 ]$
          $=\frac{m^2}{9}(5+4 \cos \alpha) $
$\Rightarrow    AD=\frac{m}{3} \sqrt{5+4 \cos \alpha} $.

c) Đpcm $\Leftrightarrow     \frac{AD}{\sin B}=\frac{AD}{\sin C}    \Leftrightarrow     \sin B=\sin C$ (hiển nhiên)
Đpcm $\Leftrightarrow       \frac{AD}{\sin B}=\frac{1}{2}.\frac{AC}{ \sin B}   \Leftrightarrow    AC=2AD$
$\Leftrightarrow     m=\frac{2m}{3}\sqrt{5+4 \cos \alpha} $
$\Leftrightarrow     9=4(5+4 \cos \alpha)     \Leftrightarrow    \cos \alpha=-\frac{11}{16}. $

Bài 110911

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110911

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan