Bài 110907

Question

Cho điểm $O$ kỳ nằm trong tam giác $A_1A_2A_3$. Gọi $B_1,B_2,B_3$ lần lượt là hình chiếu của $O$ trên $A_1A_2,A_2A_3,A_3A_1$. Chứng minh: $A_1A_2 \frac{\overrightarrow{OB_1}}{{OB_1}}+A_2A_3 \frac{\overrightarrow{OB_2}}{{OB_2}} +A_3A_1 \frac{\overrightarrow{OB_3}}{OB_3}=\overrightarrow{0} $

Thu Hằng · Answer 1 · 7/6/2012 3:36:19 PM

Đặt:
$\overrightarrow{a_1} =A_1A_2.\frac{\overrightarrow{OB_1} }{OB_1} \Rightarrow |\overrightarrow{a_1}|=A_1A_2$
$\overrightarrow{a_2} =A_2A_3.\frac{\overrightarrow{OB_2} }{OB_2} \Rightarrow |\overrightarrow{a_2}|=A_2A_3$
$\overrightarrow{a_3} =A_3A_1.\frac{\overrightarrow{OB_3} }{OB_3} \Rightarrow |\overrightarrow{a_3}|=A_3A_1$
Ta chứng minh: $\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}$ có $2$ giá khác nhau:
Ta có: $(\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}).\overrightarrow{A_1A_2}=(\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}).\overrightarrow{A_1A_2} $
$=(\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3})(\overrightarrow{A_1A_3} -\overrightarrow{A_2A_3} )=\overrightarrow{a_2}.\overrightarrow{A_1A_2} -\overrightarrow{a_3}.\overrightarrow{A_2A_3} $
$=|\overrightarrow{a_2}|A_1A_3.\cos(\overrightarrow{a_2},\overrightarrow{A_1A_3} )-|\overrightarrow{a_3}|A_2A_3.\cos(\overrightarrow{a_3},\overrightarrow{A_2A_3} )$
Mà $|\overrightarrow{a_2}|=A_2A_3$ và $|\overrightarrow{a_3}|=A_1A_3$ và $\cos(\overrightarrow{a_2},\overrightarrow{A_1A_3} )=\cos(\overrightarrow{a_3},\overrightarrow{A_2A_3} )$
Suy ra $(\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}).\overrightarrow{A_1A_2} =0$. Do đó vectơ $\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}$ vuông góc với đường thẳng $A_1A_2$.
Chứng minh tương tự, ta có vectơ $\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}$ vuông góc với đường thẳng $A_2A_3$. Hơn nữa $A_1A_2,A_2A_3$ không cùng phương nên $\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}$ có $2$ giá khác nhau. Vậy $\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}=\overrightarrow{0}$.

Bài 110907

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110907

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan