a) Vì $-1 \leq \cos (x+\frac{\pi}{3} ) \leq 1$ nên $-3 \leq 3 \cos (x+\frac{\pi}{2} ) \leq 3$
$\Rightarrow -3+2 \leq y \leq 3+2$ hay $-1 \leq y \leq 5$
Vậy tập giá trị của hàm số là $[-1; 5]$.
b) $-1 \leq \sin 2x \leq 1 \Rightarrow 1 \leq y \leq \sqrt{5} $.
Vậy tập giá trị của hàm số $y= \sqrt{3+ 2 \sin 2x} $ là $[1; \sqrt{5} ] $.
c) Ta lưu ý rằng $\frac{1}{\sin^4 x + \cos ^4 x} $ lớn nhất khi $\sin ^4 x+ \cos ^4 x$ nhỏ nhất và $\frac{1}{\sin ^4 x+ \cos ^4 x}$ nhỏ nhất khi $\sin ^4 x+ \cos ^4 x$ lớn nhất. Do đó ta phải tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức:
$A=\sin^4 x + \cos ^4 x \Leftrightarrow A= (\sin^2 x + \cos ^2 x)^2 - 2 \sin^2 \cos^2 x= 1-\frac{1}{2} \sin^2 2x. $
$0 \leq \sin^2 2x \leq 1 \Rightarrow -\frac{1}{2} \leq -\frac{1}{2} \sin^2 2x \leq 0 $
$\Rightarrow \frac{1}{2} \leq A \leq 1 \Rightarrow 1 \leq y \leq 2 $
Vậy GTLN của $y$ là $2$ và GTNN của $y$ là $1$. Do đó tập giá trị của hàm số $y=\frac{1}{\sin^4 x + \cos ^4 x} $ là $[1;2]$
d) $0 \leq 1+ \cos x \leq 2 \Rightarrow 0 \leq \sqrt{1+\cos x} \leq \sqrt{2} $
$\Rightarrow -3 \leq \sqrt{1+ \cos x} -3 \leq \sqrt{2} -3$
Vậy tập giá trị của hàm số $y=\sqrt{1+ \cos x}-3 $ là $[-3; \sqrt{2}-3 ]$