Bài 110891

Question

Cho Hyperbol $(H)$ có phương trình: $(H):\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 $. Đường thẳng $(d)$ có phương không đổi cắt $(H)$ tại $A, B$. Tìm quỹ tích trung điểm $I$ của $AB$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 7/6/2012 10:43:54 AM

Giả sử $(d)$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{v}(\alpha , \beta ) $ không đổi và $I(x_0;y_0)$, khi đó: $(d):\begin{cases}x=x_0+\alpha t \\ y=y_0+\beta t \end{cases},    t\in R$
Xét sự tương giao của $(d)$ và $(H)$ là: $\begin{cases}x=x_0+\alpha t \\ y=y_0+\beta t\\b^2x^2-a^2y^2=a^2b^2 \end{cases} $
$\Rightarrow (\alpha ^2b^2-\beta ^2a^2)t^2+2(\alpha x_0b^2-\beta y_0a^2)t+x_0^2b^2-y_0^2a^2-a^2b^2         (1)$
Vì $(d)\cap(H)=\left\{ {A, B} \right\}$ nên $(1)$ có hai nghiệm $t_A, t_B$ thỏa mãn: $\begin{cases}t_A+t_B=\frac{2(\alpha x_0b^2-\beta y_0a^2)}{\alpha ^2b^2-\beta ^2a^2} \\ t_A.t_B=\frac{x_0^2-y_0^2a^2-a^2b^2}{\alpha ^2b^2-\beta ^2a^2} \end{cases} $
Vì $I$ là trung điểm $AB$ nên:
$2x_0=x_A+x_B=(x_0+\alpha t_A)+(x_0+\alpha t_B)\Leftrightarrow t_A+t_B=0\Leftrightarrow \alpha x_0b^2-\beta y_0a^2=0      (2)$
Nhận xét rằng tọa độ $I$ luôn thỏa mãn $(2)$, vậy quỹ tích trung điểm $I$ thuộc đường thẳng $(\Delta ):\alpha b^2x-\beta a^2y=0$

Bài 110891

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110891

1 Đáp án

Liên quan

ĐƯỜNG HYPEBOL

Lý thuyết liên quan