Bài 110765

Question

Cho hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l} x+my-m=0\\ x^2+y^2-x=0 \end{array} \right.$ trong đó

$m$ là tham số.
1) Giải hệ khi

$m=1$ .
2) Biện luận số nghiệm của hệ theo

$m$ .
3) Khi nghiệm có hai phân biệt

$(x_1;y_1), (x_2;y_2)$ , tính

$A=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2$ theo

$m$

phuongna · Answer 1 · 7/5/2012 11:54:40 AM

1) Khi

$m=1$ , hệ trở thành:

$\left\{ \begin{array}{l} x+y=1\\ x^2+y^2-x=0, \end{array} \right.$
thay

$y=1-x$ từ phương trình đầu vào phương trình thứ hai ta được

$x^2+(1-x)^2-x=0\Leftrightarrow 2x^2-3x+1=0$ , và dễ dàng thấy nghiệm của hệ là

$(1,0), (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ .
2) * Khi

$m=0$ , hệ trở thành:

$\left\{ \begin{array}{l} x=0\\ x^2+y^2-x=0 \end{array} \right.$
và có nghiệm duy nhất

$(0,0)$ .
* Khi

$m\neq 0$ , từ phương trình đầu ta được

$y=\frac{m-x}{m}, (*)$
thay vào phương trình thứ hai và rút gọn ta có:

$(1+m^2)x^2-(m^2+2m)x+m^2=0. (**)$

$(**)$ là phương trình bậc hai với

$\Delta=m^2(-3m^2+4m).$
+ Nếu

$\Delta >0$ , hay

$-3m^2+4m>0\Leftrightarrow 0<m<\frac{4}{3}, (**)$ có hai nghiệm

$x$ phân biệt, thay vào

$(*)$ ta được hai nghiệm

$y$ tương ứng, lúc này hệ đã cho có hai nghiệm phân biệt.
+ Nếu

$\Delta=0$ , hay

$m=\frac{4}{3}, (**)$ có nghiệm kép, suy ra hệ có một nghiệm.
+ Nếu

$\Delta<0$ hay

$(m<0 \vee m>\frac{4}{3}), (**)$ vô nghiệm, suy ra hệ đã cho cũng vô nghiệm.
3) Từ câu trên, với

$0<m<\frac{4}{3}$ , hệ có hai nghiệm

$(x_1;y_1), (x_2;y_2)$ .
lúc đó,

$x_1,x_2$ là hai nghiệm của

$(*)$ nên định lí Viet cho ta:

$x_1+x_2=\frac{m^2+2m}{m^2+1}, x_1x_2=\frac{m^2}{m^2+1}, (***)$
ngoài ra theo

$(*)$ :

$y=\frac{m-x}{m}$ nên suy ra

$y_2-y_1=\frac{x_1-x_2}{m}$ , từ đó

$A=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2=(x_2-x_1)^2+(\frac{x_1-x_2}{m})^2$

$=(x_2-x_1)^2(\frac{m^2+1}{m^2})=[(x_2+x_1)^2-4x_2x_1](\frac{m^2+1}{m^2}).$
Thay

$(***)$ vào đẳng thức sau cùng này ta được:

$A=\frac{(2+m)^2}{m^2+1}-4.$

Bài 110765

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110765

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan