|
|
1) Khi $m=1$, hệ trở thành: $\left\{ \begin{array}{l} x+y=1\\ x^2+y^2-x=0, \end{array} \right.$
thay $y=1-x$ từ phương trình đầu vào phương trình thứ hai ta được $x^2+(1-x)^2-x=0\Leftrightarrow 2x^2-3x+1=0$, và dễ dàng thấy nghiệm của hệ là $(1,0), (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.
2) * Khi $m=0$, hệ trở thành: $\left\{ \begin{array}{l} x=0\\ x^2+y^2-x=0 \end{array} \right.$
và có nghiệm duy nhất $(0,0)$.
* Khi $m\neq 0$, từ phương trình đầu ta được
$y=\frac{m-x}{m}, (*)$
thay vào phương trình thứ hai và rút gọn ta có:
$(1+m^2)x^2-(m^2+2m)x+m^2=0. (**)$
$(**)$ là phương trình bậc hai với $\Delta=m^2(-3m^2+4m).$
+ Nếu $\Delta >0$, hay $-3m^2+4m>0\Leftrightarrow 0<m<\frac{4}{3}, (**)$ có hai nghiệm $x$ phân biệt, thay vào $(*)$ ta được hai nghiệm $y$ tương ứng, lúc này hệ đã cho có hai nghiệm phân biệt.
+ Nếu $\Delta=0$, hay $m=\frac{4}{3}, (**)$ có nghiệm kép, suy ra hệ có một nghiệm.
+ Nếu $\Delta<0$ hay $(m<0 \vee m>\frac{4}{3}), (**)$ vô nghiệm, suy ra hệ đã cho cũng vô nghiệm.
3) Từ câu trên, với $0<m<\frac{4}{3}$, hệ có hai nghiệm $(x_1;y_1), (x_2;y_2)$.
lúc đó, $x_1,x_2$ là hai nghiệm của $(*)$ nên định lí Viet cho ta:
$x_1+x_2=\frac{m^2+2m}{m^2+1}, x_1x_2=\frac{m^2}{m^2+1}, (***)$
ngoài ra theo $(*)$: $y=\frac{m-x}{m}$ nên suy ra $y_2-y_1=\frac{x_1-x_2}{m}$, từ đó
$A=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2=(x_2-x_1)^2+(\frac{x_1-x_2}{m})^2$
$=(x_2-x_1)^2(\frac{m^2+1}{m^2})=[(x_2+x_1)^2-4x_2x_1](\frac{m^2+1}{m^2}).$
Thay $(***)$ vào đẳng thức sau cùng này ta được: $A=\frac{(2+m)^2}{m^2+1}-4.$
|
|
|
Đăng bài 05-07-12 11:54 AM
|
|