Bài 103135

Question

Cho hệ phương trình: \(\begin{cases}3x^2+2xy+y^2=11 \\ x^2+2xy+3y^2=17+m \end{cases}\)
a) Giải hệ phương trình với \(m=0\)
b) Với những giá trị nào của \(m\) thì hệ có nghiệm?

score 0 · Answer 1

Giải
a) Với \(m=0\), ta có: (I) \(\begin{cases}3x^2+2xy+y^2=11 \\ x^2+2xy+3y^2=17 \end{cases}\)
\(x=0\) không thỏa mãn hệ (I). Đặt: \(y=tx\), ta được:
(II) \(\begin{cases}x^2(3+2t+t^2)=11 (1) \\ x^2(1+2t+3t^2)=17    (2) \end{cases}\)
Suy ra: \(\frac{1+2t+3t^2}{3+2t+t^2}=\frac{17}{11} \Leftrightarrow4t^2-3t-10=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = \frac{5}{4}\end{array} \right.\)
* \(t=2 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1 \Rightarrow y=\pm 2\)
* \(t=-\frac{5}{4} \Rightarrow x^2=\frac{16}{3} \Rightarrow x=\pm \frac{4}{\sqrt{3}} \Rightarrow y=\pm \frac{5}{\sqrt{3}}\)
Vậy hệ (I) có bốn nghiệm là: \((x;y)=(1;2), (-1;-2), (\frac{4}{\sqrt{3}};-\frac{5}{\sqrt{3}}), (-\frac{4}{\sqrt{3}};\frac{5}{\sqrt{3}})\)

b) (I) \(\begin{cases}x^2+2xy+y^2=11 \\ x^2+2xy+3y^2=17+m \end{cases}\)
Nhận xét: Với \(x=0\), hệ có nghiệm \((0;\pm \sqrt{11})\) khi \(m=16\).
Xét \(m\neq16\), khi đó cặp số \(0;y)\) không là nghiệm của hệ (I).
Đặt \(y=tx\), ta được: (II) \(\begin{cases}x^2(3+2t+t^2=11                (1)\\ x^2(1+2t+3t^2)=17+m    (2) \end{cases}\)
Suy ra: \(\frac{1+2t+3t^2}{3+2t+t^2}=\frac{17+m}{11}\)
\(\Leftrightarrow (m-16)t^2+2(m+6)t+3m+40=0    (3)\)
Nếu phương trình \((3)\) có nghiệm thì \(t\) thì phương trình \((1)\) có nghiệm \(x\) vì \(3+2t+t^2>0\), từ đó tính được \(y (y=tx)\)
Tóm lại với \(m\neq16\) thì hệ (I) có nghiệm khi và chỉ khi \((3)\) có nghiệm.
Xét phương trình \((3)\). Ta có: \(\Delta'=(m+6)^2-(m-16)(3m+40)\)
   \(= 2(m^2-10m-338).\)
\(\Delta'\geq0 \Leftrightarrow m^2-10m-338 \leq0 \Leftrightarrow 5-11\sqrt{3} \leq m\leq5+11\sqrt{3}\)
Các giá trị trên của \(m\) bao hàm giá trị \(m=16\).
Vậy điều kiện cần tìm là: \(5-11\sqrt{3} \leq m \leq5+11\sqrt{3}\)

Bài 103135

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103135

1 Đáp án

Liên quan

Hệ phương trình đẳng cấp

Lý thuyết liên quan