Bài 110745

Question

Cho Hyperbol $(H): \frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1 $. Gọi $(d)$ là đường thẳng qua $O$ có hệ số góc $k, (d')$ là đường thẳng qua $O$ và vuông góc với $(d)$
a. Tìm điều kiện đối với $k$ để $(d)$ và $(d')$ đều cắt $(H)$
b. Tính theo $k$ diện tích hình thoi với $4$ đỉnh là $4$ giao điểm của $(d), (d')$ và $(H)$
c. Xác định $k$ để hình thoi ấy có diện tích nhỏ nhất

hoàng anh thọ · Answer 1 · 7/5/2012 11:50:31 AM

a. Ta lần lượt có:
- Đường thẳng $(d)$ qua $O$ có hệ số góc $k$ có dạng: $y=kx$
- Đường thẳng $(d')$ qua $O$ và vuông góc với $(d)$ có dạng: $y=-\frac{1}{k}x $
Tọa độ giao điểm $A, C$ của $(d)$ và $(H)$ là nghiệm của hệ: $\begin{cases}\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1   \\ y=kx \end{cases} \Rightarrow (9-4k^2)x^2=36      (1)$
Phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt khi $9-4k^2>0\Leftrightarrow |k|<\frac{3}{2}    (2)$
Khi đó: $x_A^2=\frac{36}{9=4k^2} $ và $y_A^2=\frac{36k^2}{9=4k^2} $
Tọa độ giao điểm $B, D$ của $(d')$ và $(H)$ là nghiệm của hệ:
$\begin{cases}\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1   \\ y=-\frac{1}{k}x \end{cases} \Rightarrow (9k^2-4)y^2=36              (3)$
Phương trình $(3)$ có hai nghiệm phân biệt khi: $9-4k^2>0\Leftrightarrow |k|>\frac{2}{3}           (4)$
Khi đó: $x_B^2=\frac{36k^2}{9k^2-4} $ và $y_B^2=\frac{36}{9k^2-4} $
Kết hợp $(3), (4)$ ta được: $\frac{2}{3}<|k|<\frac{3}{2} \Leftrightarrow   $$\left[ \begin{array}{l}
- \frac{3}{2} < k < - \frac{2}{3}\\
\frac{2}{3} < k < \frac{3}{2}
\end{array} \right.               (I)$
b. Nhận xét:
$* A, C$ là giao điểm của $(d)$ và $(H)\Rightarrow A, C$ đối xứng qua $O$
$* B, D$ là giao điểm của $(d)$ và $(H)\Rightarrow B, D$ đối xứng qua $O$
$*$ Ngoài ra $AC\bot BD$
Vậy $ABCD$ là hình thoi.
Ta có:
$\begin{array}{l}
{S_{\Delta BCD}} = 4{S_{\Delta AOB}} = 4.\frac{1}{2}.OA.OB = 2\sqrt {x_A^2 + y_A^2} \sqrt {x_B^2 + y_B^2} \\
= 2.\sqrt {\frac{{36}}{{9 = 4{k^2}}} + \frac{{36{k^2}}}{{9 = 4{k^2}}}} \sqrt {\frac{{36{k^2}}}{{9{k^2} - 4}} + \frac{{36}}{{9{k^2} - 4}}} = \frac{{72(1 + {k^2})}}{{\sqrt {(9 - 4{k^2})(9{k^2} - 4)} }}
\end{array}$
c. Hình thoi $ABCD$ có diện tích nhỏ nhất $\Leftrightarrow \frac{{72(1 + {k^2})}}{{\sqrt {(9 - 4{k^2})(9{k^2} - 4)} }}$ nhỏ nhất
Ta có: $\frac{{72(1 + {k^2})}}{{\sqrt {(9 - 4{k^2})(9{k^2} - 4)} }} \ge \frac{{72(1 + {k^2})}}{{\frac{1}{2}\left[ {(9 - 4{k^2}) + (9{k^2} - 4)} \right]}} = \frac{{144}}{5}$
Vậy, hình thoi $ABCD$ có diện tích nhỏ nhất bằng $\frac{144}{5} $ đạt được khi: $9-4k^2=9k^2-4\Leftrightarrow k=\pm 1$

Bài 110745

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110745

1 Đáp án

Liên quan

ĐƯỜNG HYPEBOL

Lý thuyết liên quan