Bài 110740

Question

Cho tam giác $ABC$ có $A(-4;1),B(2;4),C(2;-2)$
a) Tìm tọa độ trọng tâm $G$ và trực tâm $H$.
b) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp $I$. Chứng minh điểm $I,G,H$ thẳng hàng.

Thu Hằng · Answer 1 · 7/5/2012 11:25:59 AM

a) Trọng tâm của tam giác $ABC$ là $G \left (\frac{-4+2+2}{3};\frac{1+4-2}{3} \right) $ hay $G(0;1)$
Gọi $H(x,y)$ là trực tâm của tam giác $ABC$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} AH \bot BC\\ BH \bot AC \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0\\\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0\end{array} \right.$
Ta có $\overrightarrow{AH}=(x+4;y-1),\overrightarrow{BC}=(0;-6),\overrightarrow{BH}=(x-2;y-4),\overrightarrow{AC}=(6;-3)$
Nên: $\left\{ \begin{array}{l} -6(y-1)=0\\ 6(x-2)-3(y-4)=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y=1\\ 2x-y=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{1}{2} \\ y=1 \end{array} \right. $
Vậy $H(\frac{1}{2};1)$

b) $I(x;y)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ khi và chỉ khi:
$IA=IB=IC \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} IA^2=IB^2\\ IB^2=IC^2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} (x+4)^2+(y-1)^2=(x-2)^2+(y-4)^2\\ (x-2)^2+(y-4)^2=(x-2)^2+(y+2)^2 \end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} (x+4)^2=(x-2)^2+9\\ y=1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=-\frac{1}{4} \\ y=1 \end{array} \right. $
Vậy $I(-\frac{1}{4};1)$
Ta có: $\overrightarrow{GH}=(\frac{1}{2};0),\overrightarrow{GI}=(-\frac{1}{4};0)=-\frac{1}{2}\overrightarrow{GH}$
Vậy hai vectơ $\overrightarrow{GH},\overrightarrow{GI}$ cùng phương do đó $I,G,H$ thẳng hàng.

Bài 110740

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110740

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan