Bài 110551

Question

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ đỉnh $S$ đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$ tâm $O$ góc nhọn $\widehat{A}=60^0 $.Các cạnh bên $SA=SC;SB=SD=a\sqrt{3} $
$a.$ Tính khoảng cách từ đỉnh $S$ đến $mp(ABCD)$
$b.$ Tính khoảng cách từ điểm $O$ đến $mp(SBC)$
$c.$ Tính khoảng cách giữa các đường thẳng $SB,AD$
$d.$ Dựng và tính đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng $BD,SC$

score 0 · Answer 1

$a.$ $SA=SC\Rightarrow \Delta ASC$ cân đỉnh $S\Rightarrow SO\bot AC$
$SB=SD\Rightarrow \Delta ABD$ cân đỉnh $S\Rightarrow SO\bot BD$
Vậy $SO\bot (ABCD)\Rightarrow SO$ là khoảng cách từ đỉnh $S$ đến $ABCD$
Ta có : $OB=\frac{a}{2} $
$SO^2=SB^2-OB^2\Rightarrow SO^2=(a\sqrt{3} )^2-(\frac{a}{2} )^2$
$\Rightarrow SO=\frac{a\sqrt{11} }{2} $
$b.$ Từ $O$ kẻ $OI\bot BC$ ta có :
$\left.\begin{matrix}SO\bot (ABCD) \\OI\bot BC \end{matrix}\right\} \Rightarrow SI\bot BC$ (định lí $3$ đường vuông góc )
$\left.\begin{matrix}SI\bot BC \\ OI\bot BC\end{matrix}\right\} \Rightarrow BC\bot (SOI)$
$\Rightarrow (SBC)\bot (SOI)$
Hai mặt phẳng $(SOI),(SBC)$ vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến $SI$ nên nếu từ $O$ ta kẻ $OK\bot SI$ thì $OK\bot (SBC)$ suy ra $OK$ là khoảng cách từ điểm $O$ đến $mp(SBC)$
Tam giác vuông $SOI$ với $SO=\frac{a\sqrt{11} }{2} ;OI=\frac{a\sqrt{3} }{2} $ ta tính được đường cao $OK=\frac{\sqrt{33} a}{28} $
$c.$ Do $BC//AD$ nên $AD//(SBC)$.Như vậy khoảng cách giữa $AD$ và $SB$ cũng bằng khoảng cách giữa $AD$ và $mp(SBC)$ và cũng bằng khoảng cách từ một điểm $J$ thuộc $AD$ đến $mp(SBC)$ trong đó ta gọi $J$ là giao điểm của $IO$ với $AD$
Ta có : $IJ\bot BC\Rightarrow (ISJ)\bot (SBC)$
Từ $J$ kẻ $JF\bot SI\Rightarrow JF\bot (SBC)$
Hay $JF$ là khoảng cách từ $J$ đến $mp(SBC)$
Trong tam giác $IJF$ thì $JF=2OK$ suy ra :
$JF=\frac{\sqrt{33} a}{4} $
$d.$ Trong tam giác $SOC$ kẻ $OE\bot SC (1)$
Ta có : $DB\bot (SAC)\Rightarrow DB\bot OE (2)$
Từ $(1),(2)$ suy ra $OE$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng $SC,DB$
Tam giác $SOC$ có $SO=\frac{a\sqrt{11} }{2} ; OC=\frac{a\sqrt{3} }{2} $
Nên đường cao $OE$ có giá trị là :
$OE=\frac{\sqrt{33} }{28} a$

Bài 110551

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110551

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan