Bài 110436

Question

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật với $AB=a, AD=a\sqrt{2}, SA=a$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $SC$, $I$ là giao điểm của $BM$ và $AC$. Tính thể tích khối tứ diện $ANIB$.

score 0 · Answer 1

Dựng hệ trục tọa độ $Axyz$ với gốc $A$

Trong hệ trục tọa độ này: $A=(0;0;0); D=(a\sqrt{2};0;0); B=(0;a;0); C=(a\sqrt{2}; a;0); S=(0;0;a)$
Khi đó ta có: $M=(\frac{a\sqrt{2}}{2};0;0); N=(\frac{a\sqrt{2}}{2};\frac{a}{2};\frac{a}{2})$.
ta có: $MI=\frac{1}{2}IB\Rightarrow \overrightarrow{MI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{IB}$.
Gọi $I=(x_0;y_0;z_0)$. Dễ thấy $z_0=0$ và
$\begin{cases}x_0-\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}(0-x_0) \\ y_0-0=\frac{1}{2}(a-y_0) \end{cases}\Rightarrow x_0=\frac{a\sqrt{2}}{3}; y_0=\frac{a}{3}; z_0=0$. Như vậy: $I=(\frac{a\sqrt{2}}{3};\frac{a}{3}; 0)$
Ta có: $\overrightarrow{NA}=(-\frac{a\sqrt{2}}{2};-\frac{a}{2}; -\frac{a}{2}); \overrightarrow{NB}=(-\frac{a\sqrt{2}}{2};\frac{a}{2}; -\frac{a}{2}); \overrightarrow{NI}=(-\frac{a\sqrt{2}}{6};-\frac{a}{6}; -\frac{a}{2})$.
Từ đó: $[\overrightarrow{NA},\overrightarrow{NB}]=(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{-\frac{a}{2}}}&{{-\frac{a}{2}}}\\
{{\frac{a}{2}}}&{{-\frac{a}{2}}}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{-\frac{a}{2}}}&{{-\frac{a\sqrt{2}}{2}}}\\
{{-\frac{a}{2}}}&{{-\frac{a\sqrt{2}}{2}}}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{-\frac{a\sqrt{2}}{2}}}&{{-\frac{a}{2}}}\\
{{-\frac{a\sqrt{2}}{2}}}&{{\frac{a}{2}}}
\end{array}} \right|)=(\frac{a^2}{2};0;-\frac{a^2\sqrt{2}}{2})$
Vì vậy $V_{ANIB}=\frac{1}{6}|[\overrightarrow{NA},\overrightarrow{NB}].\overrightarrow{NI}|=\frac{1}{6}|-\frac{a^3\sqrt{2}}{12}+\frac{a^3\sqrt{2}}{4}|=\frac{a^3\sqrt{2}}{36}$ (đvtt)

Bài 110436

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110436

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan