Bài 110349

Question

Cho hình lập phương $ABCD.A_1B_1C_1D_1$ cạnh bằng $a$.
1) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $A_1B$ và $B_1D$.
2) Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $B_1B, CD,A_1D_1$. Tính góc giữa hai đường thẳng $MP$ và $C_1N$.

score 0 · Answer 1

1) Dựng hệ trục tọa độ $Axyz$

Trong hệ trục này, ta có:
$A=(0;0;0) ; B=(a;0;0); C=(a;a;0); D(=0;a;0)$
$A_1=(0;0;a); B_1=(a;0;a); C_1=(a;a;a); D_1=(0;a;a)$
Từ đó ta có: $\overrightarrow{A_1B}=(a;0;-a);\overrightarrow{B_1D}=(-a;a;-a)$
$\Rightarrow [\overrightarrow{A_1B},\overrightarrow{B_1D}]=$ $(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{0}}&{{-a}}\\
{{a}}&{{-a}}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{-a}}&{{a}}\\
{{-a}}&{{-a}}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a}}&{{0}}\\
{{-a}}&{{a}}
\end{array}} \right|)=(a^2;2a^2; a^2) $.
Lại có: $\overrightarrow{A_1B_1}=(a;0;0)$ do đó: $d(A_1B;B_1D)=\frac{ |[\overrightarrow{A_1B},\overrightarrow{B_1D}]. \overrightarrow{A_1B_1}|}{| [\overrightarrow{A_1B},\overrightarrow{B_1D}]|}=\frac{a^3}{a^2\sqrt{6}}=\frac{a\sqrt{6}}{6}$.
2) Do $M,N,P$ là trung điểm của $B_1B,CD,A_1D_1$ nên ta có:
$M=(a;0;\frac{a}{2}); N=(\frac{a}{2};a;0); P=(0;\frac{a}{2};a)$
Ta có: $\overrightarrow{MP}=(-a;\frac{a}{2};\frac{a}{2}); \overrightarrow{C_1N}=(-\frac{a}{2};0;-a)$
Từ đó: $\overrightarrow{MP}.\overrightarrow{C_1N}=\frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{2}=0 \Rightarrow MP \bot C_1N$
Vậy góc giữa $MP,C_1N$ bằng $90^0$.

Bài 110349

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110349

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan