Bài 110338

Question

Cho điểm $A(-5;0)$ và Elip $(E)$ có phương trình: $(E):9x^2+25y^2=225$. Giả sử $M$ là điểm di động trên Elip. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên trục $Oy$. Giả sử $AH$ cắt $OM$ tại $P$. Chứng minh rằng khi $M$ thay đổi trên Elip thì $P$ luôn chạy trên một đường cong cố định

hoàng anh thọ · Answer 1 · 7/3/2012 11:01:08 AM

Lấy điểm $M(x_0;y_0)\in (E)$, ta được: $\frac{x_0^2}{25}+\frac{y+0^2}{16}=1         (1) $
Hình chiếu $H$ của $M$ lên $Oy$ có tọa độ $H(0;y_0)$
Phương trình $(OM)$ được cho bởi:
$(OM):\begin{cases}qua M(x_0;y_0) \\ qua O(0;0) \end{cases} \Leftrightarrow (OM):\frac{x-x_0}{-x_0}=\frac{y-y_0}{-y_0} \Leftrightarrow (OM):y_0x-x_0y=0$
Phương trình $(AH)$ cho bởi:
$(AH):\begin{cases}qua A(-5;0) \\ qua H(0;y_0) \end{cases} \Leftrightarrow (AH):\frac{x+5}{5}=\frac{y}{y_0} $    $\Leftrightarrow   (AH):y_0x-5y+5y_0=0$
Giả sử $AH$ cắt $OM$ tại $P$, khi đó tọa độ của $P$ là nghiệm của hệ phương trình: $\begin{cases}y_0x-x_0y=0 \\ y_0x-5y+5y_0=0 \end{cases} \Leftrightarrow x_0=\frac{5x}{x+5} $ và $y_0=\frac{5y}{x+5}    (2)$
Thay $(2)$ vào $(1)$, ta được: $9(\frac{5x}{x+5} )^2+25(\frac{5y}{x+5} )^2=225\Leftrightarrow y^2=\frac{18}{5}x+9 $
Vậy $P$ luôn chạy trên một đường cong cố định $(P):y^2=\frac{18}{5}x+9 $

Bài 110338

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110338

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan