Bài 110322

Question

Cho Elip $(E)$ có phương trình: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} =1 $
Từ điểm $A\in (E)$ có tọa độ dương, dựng hình chữ nhật $ABCD$ nội tiếp trong $(E)$ có các cạnh song song với các trục tọa độ. Xác định tọa độ của $A$ để hình chữ nhật $ABCD$ có diện tích lớn nhất

hoàng anh thọ · Answer 1 · 7/2/2012 3:02:17 PM

Cách 1: Giả sử $A(x_A;y_A)\in (E)$ với $x_A;y_A>0\Rightarrow \frac{x_A^2}{a^2}+\frac{y_A^2}{b^2}=1 $
Khi đó: $S_{ABCD}=S_{OMAN}=4x_Ay_A=2ab.2\frac{x_A}{a}.\frac{y_A}{b}\leq 2ab.\frac{x_A^2}{a^2}+\frac{y_A^2}{b^2}=2ab $
Vậy $S_{Max}=2ab$, đạt được khi: $\begin{cases}\frac{x_A^2}{a^2}+\frac{y_A^2}{b^2}=1 \\ \frac{x_A}{a}=\frac{y_A}{b} \end{cases} \Rightarrow A(\frac{a}{\sqrt{2} };\frac{b}{\sqrt{2} } )$
Cách 2: Chuyển phương trình Elip về dạng tham số: $(E):\begin{cases}x=a.\sin t \\ y=b.\cos t \end{cases} i\in [0;2\pi]$
Điểm $A\in (E)$ và thuộc góc phần tư thứ nhất, suy ra $A(a.\sin t; b.\cos t), t\in (0;\frac{\pi}{2} )$
Khi đó: $S_{ABCD}=S_{OMAN}=4x_0y_0=4a.\sin t.b.\cos t=2ab\sin 2t \leq 2ab$
Vậy, $S_{max}=2ab$ đạt được khi: $\sin 2t=1\Leftrightarrow t=\frac{\pi}{4}\Rightarrow A(\frac{a}{\sqrt{2} };\frac{b}{\sqrt{2} } ) $

Bài 110322

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110322

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan