Bài 110220

Question

Cho

$a, b, c, d$ theo thứ tự là tọa độ của các điểm

$A, B, C, D$ trên trục

$Ox$ .
a) Chứng minh rằng khi

$a+b\neq c+d$ thì luôn tìm được điểm

$M$ sao cho:

$\overline{MA}.\overline{MB}=\overline{MC}.\overline{MD}.$
b) Khi

$AB$ và

$CD$ có trùng trung điểm thì điểm

$M$ ở câu a) có xác định không?.
Áp dụng: Xác định tọa độ điểm

$M$ nếu biết:

$a=-2, b=15, c=3, d=-1.$

Thu Hằng · Answer 1 · 6/30/2012 11:21:45 AM

a)

$\overline{MA}.\overline{MB}=\overline{MC}.\overline{MD}$

$\Leftrightarrow (\overline{OA}-\overline{OM})(\overline{OB}-\overline{OM})=(\overline{OC}-\overline{OM})(\overline{OD}-\overline{OM})$

$\Leftrightarrow \overline{OM}(\overline{OD}+\overline{OC}-\overline{OA}-\overline{OB})=\overline{OC}.\overline{OD}-\overline{OA}.\overline{OB}$

$\Leftrightarrow \overline{OM}(d+c-a-b)=cd-ab.$
Do

$a+b\neq c+d$ nên

$\overline{OM}=\frac{cd-ab}{d+c-a-b}$ .

b) Giả sử

$AB$ và

$CD$ có cùng trung điểm

$I$ . Khi đó:

$\overline{OI}=\frac{\overline{OA}+\overline{OB}}{2}=\frac{\overline{OC}+\overline{OD}}{2}$ hay

$a+b=c+d$ .
Khi đó

$\overline{OM}.0=cd-ab$ .
Suy ra

$ab=cd$ và

$a+b=c+d$ thì dễ dàng suy ra bốn điểm

$A, B, C, D$ không phân biệt. Vô lý.
Vậy suy ra điểm

$M$ không xác định.

Áp dụng: Với

$a=-2, b=15, c=3, d=-1$ ta thấy

$a+b\neq c+d$ .
Theo câu a) điểm

$M$ được xác định và ta có:

$\overline{OM}=\frac{cd-ab}{d+c-a-b}=\frac{3(-1)-(-2).15}{-1+3+2-15}=-\frac{27}{11}$
Suy ra điểm

$M$ có tọa độ là:

$-\frac{27}{11}$

1 Đáp án