Bài 110210

Question

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có độ dài cạnh bên bằng $2a$, đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A, AB=a, AC=a\sqrt{3}$ và hình chiếu vuông góc của đỉnh $A'$ trên $(ABC)$ là trung điểm của cạnh $BC$. Tính $\cos $ của góc giữa hai đường thẳng $AA', B'C'$.

score 0 · Answer 1

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.
Ta có: $BC=\sqrt{3a^2+a^2}=2a$
$\Rightarrow BM=MC=BA=a$
$\Rightarrow ABM$ là tam giác đều cạnh $a$.
Gọi $E$ là trung điểm $BM$, ta có: $AE \bot BC; EM=\frac{a}{2}; AE=\frac{a\sqrt{3}}{2};$
Dựng hệ trục tọa độ $Mxyz$ trong đó $Mx// AE$.

Trong hệ trục tọa độ này ta có:
$M=(0;0;0); A=(\frac{a\sqrt{3}}{2};-\frac{a}{2};0); A'=(0;0;a\sqrt{3}); B=(0;-a;0); C=(0;a;0)$.
Chú ý rằng : $A'M=\sqrt {AA'^2-AM^2}=\sqrt{4a^2-a^2}=a\sqrt{3}$
Từ đó: $\overrightarrow{AA'}=(-\frac{a\sqrt{3}}{2};\frac{a}{2};a\sqrt{3}); \overrightarrow{BC}=(0;2a;0)$
Vậy ta có $\cos (AA';B'C')=|\cos (\overrightarrow{AA'},\overrightarrow{BC})|$ (do$BC//B'C'$)
$=\frac{|\overrightarrow{AA'}.\overrightarrow{BC}|}{|\overrightarrow{AA'}||\overrightarrow{BC}|}=\frac{a^2}{\sqrt{\frac{3a^2}{4}+\frac{a^2}{4}+3a^2}.2a}=\frac{a^2}{2a.2a}=\frac{1}{4}$.

Bài 110210

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110210

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan