Bài 110150

Question

Cho tam giác $ABC$, tìm tập hợp những điểm $M$ sao cho:
a) $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|=\frac{3}{2} |\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|$
b) $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}|$
c) $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}|=|4 \overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}|$
d) $|4 \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|=3 | 2\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}|$.

phuongna · Answer 1 · 6/29/2012 4:30:10 PM

a) Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$, $N$ là trung điểm $BC$. Từ giả thiết
$|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|=\frac{3}{2} |\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|\Leftrightarrow |3\overrightarrow{MG}|=3|\overrightarrow{MN}|\Leftrightarrow MG=MN$
Vậy tập hợp các điểm $M$ là đường trung trực của đoạn $GN$.

b) Gọi $D$ là các điểm thỏa mãn $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$.
Như vậy $D$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $ABCD$.
Từ giả thiết
$|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}|\Leftrightarrow |\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}|=|\overrightarrow{BA}|\Leftrightarrow MD=AB$
Vậy tập hợp các điểm $M$ là đường tròn tâm $D$ bán kính $AB$.

c) Gọi $H, K$ là các điểm thỏa mãn $\begin{cases} \overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}=\overrightarrow{0} \\ 4\overrightarrow{KB}-\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0} \end{cases}$.
Như vậy $H, K$ xác định và duy nhất.
Từ giả thiết
$|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}|=|4 \overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}|\Leftrightarrow |2\overrightarrow{MH}|=4|\overrightarrow{MK}|\Leftrightarrow MH=2MK$
Vậy tập hợp các điểm $M$ là đường tròn Apoloniot.

d) Gọi $H, K$ là các điểm thỏa mãn $\begin{cases}4 \overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{0} \\ 2\overrightarrow{KA} +\overrightarrow{KB}-\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0} \end{cases}$.
Như vậy $H, K$ xác định và duy nhất.
Từ giả thiết
$|4 \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|=3 | 2\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}|\Leftrightarrow |6\overrightarrow{MH}|=6|\overrightarrow{MK}|\Leftrightarrow MH=MK$
Vậy tập hợp các điểm $M$ là đường trung trực của đoạn $HK$.

Chú ý : Có thể xem bài toán tổng quát về đường tròn trong câu c) như sau :

Cho hai điểm $A, B$ phân biệt và số dương $k \ne 1$. Tìm tập hợp các điểm $M$ sao cho $\frac{{MA}}{{MB}} = k$.

Cách 1 :
Lấy trên đường thẳng $AB$ các điểm $E, F$ sao cho
$\frac{{\overline {EA} }}{{\overline {EB} }} = - k;\frac{{\overline {FA} }}{{\overline {FB} }} = k \Rightarrow \overrightarrow {EA} = - k\overrightarrow {EB} ,\overrightarrow {FA} = k\overrightarrow {FB} $
Với mọi điểm M ta có :
$\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {ME} = - k\left( {\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {ME} } \right)\\
\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MF} = k\left( {\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MF} } \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {ME} = \frac{{\overrightarrow {MA} + k\overrightarrow {MB} }}{{1 + k}}\\
\overrightarrow {MF} = \frac{{\overrightarrow {MA} - k\overrightarrow {MB} }}{{1 - k}}
\end{array} \right.$
Do $\frac{{MA}}{{MB}} = k \Leftrightarrow M{A^2} - {k^2}.M{B^2} = 0$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {MA} + k\overrightarrow {MB} } \right)\left( {\overrightarrow {MA} - k\overrightarrow {MB} } \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {1 + k} \right)\overrightarrow {ME} \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {MF} = 0 \Leftrightarrow \left( {1 - {k^2}} \right)\overrightarrow {ME} .\overrightarrow {MF} = 0\\
\Leftrightarrow \overrightarrow {ME} .\overrightarrow {MF} = 0\\
\Leftrightarrow M{\rm{E}} \bot {\rm{MF}}
\end{array}$
Vậy tập hợp các điểm $M$ là đường tròn đường kính $EF$. (đường tròn A pôlôiut).

Cách 2 : Lấy $E,F$ như cách $1$.
Thuận : Nếu $M$ thỏa mãn $\frac{{MA}}{{MB}} = k$ thì $\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{MB}}{{MA}} = - \frac{{\overline {EA} }}{{\overline {EB} }}\\
\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{\overline {FA} }}{{\overline {FB} }}\\

\end{array} \right.$
$ \Rightarrow ME$ là phân giác trong, $MF$ là phân giác ngoài của $\Delta MAB$.
$ \Rightarrow \widehat {{\rm{EMF}}} = 1v \Rightarrow M \in $ đường tròn đường kính $EF$.
Đảo : Lấy $M$ thuộc đường tròn đường kính $EF$, ta có
$M{\rm{E}} \bot {\rm{MF}}$. Qua $B$ kẻ đường thẳng song song với $MF$, đường thẳng này theo thứ tự cắt $ME, MA$ tại $H,K$. Vì $\left( {ABEF} \right) = - 1$ nên $HB = HK$. Vì $BK \parallel MF;M{\rm{E}} \bot {\rm{MF}}$ nên $BK \bot ME$.
Suy ra tam giác $MBK$ cân tại $M \Rightarrow {\rm M}{\rm E}$ là phân giác của góc $\widehat {AMB} \Rightarrow \frac{{MA}}{{MB}} = - \frac{{\overline {EA} }}{{\overline {EB} }} = k$
Vậy : Tập hợp các điểm $M$ là đường tròn đường kính $EF$

Bài 110150

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110150

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan