|
|
\Rightarrow Trước hết ta sẽ chứng minh : $\overrightarrow {MD} + \overrightarrow
{ME} + \overrightarrow {MF} = \frac{3}{2}\overrightarrow
{MO} (1)$
Trong đó $O$ là tâm của tam giác $ABC$.
Thật vậy,
Qua
$M$ kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác $ABC$, chúng
chia tam giác $ABC$ thành các tam giác đều
${M_1}{D_1}{D_2};M{E_1}{E_2};M{F_1}{F_2}$ và các hình bình hành
$M{F_1}A{E_2};M{E_1}C{D_2};M{D_1}B{F_2}$
Ta có : $\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {MD} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{D_1}} + {{\overrightarrow {MD} }_2}} \right)\\
\overrightarrow {ME} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{E_1}} + \overrightarrow {M{E_2}} } \right)\\
\overrightarrow {MF} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{F_1}} + \overrightarrow {M{F_2}} } \right)
\end{array} \right.$
Cộng từng vế $3$ đẳng thức ta được
$\begin{array}{l}
\overrightarrow
{MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} =
\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{F_1}} + \overrightarrow {M{E_2}} }
\right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{D_1}} +
\overrightarrow {M{F_2}} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow
{M{E_1}} + \overrightarrow {M{D_2}} } \right)\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
= \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} +
\overrightarrow {MC} } \right)\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{2}3\overrightarrow {MO} \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
= \frac{3}{2}\overrightarrow {MO\,}
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \text { (đpcm) }
\end{array}$
Mặt khác, do $G$ là trọng tâm tam giác $DEF$ nên ta cũng có
$\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = 3\overrightarrow {MG} (2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra
$\overrightarrow {MG} =\frac{1}{2}\overrightarrow {MO}\Rightarrow \overrightarrow {OM} =2\overrightarrow {OG}$
Do đó từ giả thiết
$|\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}|=k\Rightarrow \left| {\frac{3}{2}\overrightarrow
{MO} } \right|=\left| {3\overrightarrow {GO}} \right|=k\Rightarrow OG=\frac{1}{3}k$
Như vậy quỹ tích điểm $G$ là đường tròn tâm $O$ bán kính $\frac{1}{3}k$.
|
|
|
Đăng bài 29-06-12 02:21 PM
|
|