Bài 110074

Question

Cho hình hộp chữ nhật

$ABCD.A_1B_1C_1D_1$ .Một mặt phẳng

$\alpha$ cắt

$AA_1,BB_1,CC_1,DD_1$ lần lượt tại

$A',B',C',D'$ .Đặt

$AA'=a,BB'=b,CC'=c,DD'=d$ .Chứng minh rằng :

$a.$ Tứ giác

$A'B'C'D'$ là hình bình hành và

$a+c=b+d$

$b.$ Điều kiện cần và đủ để

$A'B'C'D'$ là hình thoi là

$a=c$ hay

$b=d$

$c.$ Nếu

$a=b$ thì

$A'B'C'D'$ là hình chữ nhật. Mệnh đề đảo có đúng không ?

score 0 · Answer 1

$a.$ Nhận xét rằng :

$\begin{cases} (ABB_1A_1)//(CDD_1C_1)\\\alpha \cap (ABB_1A_1)=A'B'\\\alpha \cap (CDD_1C_1)=C'D'\end{cases} \Rightarrow A'B'//C'D'$

$\begin{cases} (BCC_1B_1)//(ADD_1A_1)\\\alpha \cap (BCC_1B_1)=B'C'\\\alpha \cap (ADD_1A_1)=A'D'\end{cases} \Rightarrow A'D'//B'C'$
suy ra tứ giác

$A'B'C'D'$ là hình bình hành
Giả sử

$AC\cap BD=O$ và

$A'C'\cap B'D'=O'$ ta có :

$OO'=\frac{1}{2} (AA'+CC')$ vì

$OO'$ là đường trung bình của hình thang

$ACC'A'$

$OO'=\frac{1}{2} (BB'+DD')$ vì

$OO'$ là đường trung bình của hình thang

$BDD'B'$
suy ra :"

$=\frac{1}{2} (AA'+CC')=\frac{1}{2} (BB'+DD')\Leftrightarrow a+c=b+d$ (đpcm)

$b.$ Nhận xét rằng hình chiếu vuông góc của góc

$A'OB'$ lên

$(ABCD)$ là

$\widehat{AOB}$
Để

$A'B'C'D'$ là hình thoi điều kiện cần và đủ là :

$A'OB'=90^0\Leftrightarrow \begin{cases}O'A'//OA\\O'B'//OB \end{cases} \Leftrightarrow A'C'//AC\\beta'D'//BD\Leftrightarrow \begin{cases} AA'=CC'\\BB'=DD'\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a=c\\beta=d\end{cases}$

$c.$ Nếu

$a=b$ ta được :

$AA'=BB'\Rightarrow A'B'//AB\Rightarrow \widehat{A'B'C'} =90^0\Rightarrow A'B'C'D'$ là hình chữ nhật.
Thấy ngay, đảo lại không đúng vì với vai trò

$b,d$ như nhau nên

$A'B'C'D'$ cũng sẽ là hình chữ nhật khi

$a=d$

Bài 110074

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110074

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan