Bài 110074

Question

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A_1B_1C_1D_1$.Một mặt phẳng $\alpha $ cắt $AA_1,BB_1,CC_1,DD_1$ lần lượt tại $A',B',C',D'$.Đặt $AA'=a,BB'=b,CC'=c,DD'=d$.Chứng minh rằng :
$a.$ Tứ giác $A'B'C'D'$ là hình bình hành và $a+c=b+d$
$b.$ Điều kiện cần và đủ để $A'B'C'D'$ là hình thoi là $a=c$ hay $b=d$
$c.$ Nếu $a=b$ thì $A'B'C'D'$ là hình chữ nhật. Mệnh đề đảo có đúng không ?

score 0 · Answer 1

$a.$ Nhận xét rằng :
$\begin{cases} (ABB_1A_1)//(CDD_1C_1)\\\alpha \cap (ABB_1A_1)=A'B'\\\alpha \cap (CDD_1C_1)=C'D'\end{cases} \Rightarrow A'B'//C'D'$
$\begin{cases} (BCC_1B_1)//(ADD_1A_1)\\\alpha \cap (BCC_1B_1)=B'C'\\\alpha \cap (ADD_1A_1)=A'D'\end{cases} \Rightarrow A'D'//B'C'$
suy ra tứ giác $A'B'C'D'$ là hình bình hành
Giả sử $AC\cap BD=O$ và $A'C'\cap B'D'=O'$ ta có :
$OO'=\frac{1}{2} (AA'+CC')$ vì $OO'$ là đường trung bình của hình thang $ACC'A'$
$OO'=\frac{1}{2} (BB'+DD')$ vì $OO'$ là đường trung bình của hình thang $BDD'B'$
suy ra :"
$=\frac{1}{2} (AA'+CC')=\frac{1}{2} (BB'+DD')\Leftrightarrow a+c=b+d$ (đpcm)
$b.$ Nhận xét rằng hình chiếu vuông góc của góc $A'OB'$ lên $(ABCD)$ là $\widehat{AOB} $
Để $A'B'C'D'$ là hình thoi điều kiện cần và đủ là :
$A'OB'=90^0\Leftrightarrow \begin{cases}O'A'//OA\\O'B'//OB \end{cases} \Leftrightarrow A'C'//AC\\beta'D'//BD\Leftrightarrow \begin{cases} AA'=CC'\\BB'=DD'\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a=c\\beta=d\end{cases} $
$c.$ Nếu $a=b$ ta được :
$AA'=BB'\Rightarrow A'B'//AB\Rightarrow \widehat{A'B'C'} =90^0\Rightarrow A'B'C'D'$ là hình chữ nhật.
Thấy ngay, đảo lại không đúng vì với vai trò $b,d$ như nhau nên $A'B'C'D'$ cũng sẽ là hình chữ nhật khi $a=d$

Bài 110074

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110074

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan