Bài 110018

Question

Trên các cạnh $AB, BC, CA$ của tam giác $ABC$ lấy các điểm tương ứng $C_1, A_1, B_1$ sao cho: $AC_1:C_1B=BA_1:A_1C=CB_1:B_1A=\frac{1}{k}$.
Trên các cạnh $A_1B_1, B_1C_1, C_1A_1$ của tam giác $A_1B_1C_1$ lấy các điểm tương ứng $C_2, A_2, B_2$ sao cho: $A_1C_2:C_2B_1=B_1A_2:A_2C_1=C_1B_2:B_2A_1=k.$
Chứng minh rằng: $A_2C_2//AC; C_2B_2//CB; B_2A_2//BA.$

Thu Hằng · Answer 1 · 6/29/2012 10:09:51 AM

Lấy điểm $O$ bất kì làm gốc, đặt:
$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}, \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}, \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$
$\overrightarrow{OA_1}=\overrightarrow{a_1}, \overrightarrow{OB_1}=\overrightarrow{b_1}, \overrightarrow{OC_1}=\overrightarrow{c_1}$
$\overrightarrow{OA_2}=\overrightarrow{a_2}, \overrightarrow{OB_2}=\overrightarrow{b_2}, \overrightarrow{OC_2}=\overrightarrow{c_2}$
Theo giả thiết, ta có (do $k>0$):
$\overrightarrow{c_1}=\frac{\overrightarrow{b}+k\overrightarrow{a}}{1+k}, \overrightarrow{a_1}=\frac{\overrightarrow{c}+k \overrightarrow{b}}{1+k}, \overrightarrow{b_1}=\frac{\overrightarrow{a}+k \overrightarrow{c}}{1+k}$
$\overrightarrow{a_2}=\frac{\overrightarrow{b_1}+k \overrightarrow{c_1} }{1+k}, \overrightarrow{b_2}=\frac{\overrightarrow{c_1}+k \overrightarrow{a_1}}{1+k}, \overrightarrow{c_2}=\frac{\overrightarrow{a_1}+k \overrightarrow{b_1}} {1+k}$
Do đó: $\overrightarrow{A_2C_2}=\overrightarrow{c_2}-\overrightarrow{a_2}=\frac{1}{k+1}[(\overrightarrow{a_1}+k \overrightarrow{b_1})-(\overrightarrow{b_1}+k \overrightarrow{c_1})]$
$=\frac{1}{1+k}[\overrightarrow{a_1}+(k-1)\overrightarrow{b_1}-k \overrightarrow{c_1}]$
$=\frac{1}{(k+1)^2}[\overrightarrow{c}+k \overrightarrow{b}+(k-1)\overrightarrow{a}+k(k-1)\overrightarrow{c}-k \overrightarrow{b}-k^2 \overrightarrow{a}]$
$=\frac{1}{(k+1)^2}[(k^2-k+1) \overrightarrow{c}-(k^2-k+1)\overrightarrow{a}]=\frac{k^2-k+1}{(k+1)^2}(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a})$
$=\frac{k^2-k+1}{(k+1)^2}\overrightarrow{AC}$. Vì $k^2-k+1>0$ nên $A_2C_2\parallel AC$
Chứng minh tương tự ta được: $C_2B_2\parallel CB; B_2A_2\parallel BA$

Bài 110018

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110018

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan