Bài 109943

Question

Cho tam giác $ABC$ và một điểm $M$ tùy ý không thuộc các đường thẳng $AB, BC, CA$. Gọi $A', B', C'$ theo thứ tự là các điểm đối xứng của $M$ qua trung điểm $I, K, J$ của các cạnh $BA, CA, AB$. Chứng minh rằng:
a) Ba đường thẳng $AA', BB', CC'$ đồng quy tại một điểm $M_1$.
b) Đường thẳng $MM_1$ luôn đi qua một điểm cố định khi $M$ di động

hoàng anh thọ · Answer 1 · 7/23/2012 2:02:28 PM

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}=2 \overrightarrow{KJ}$ và $\overrightarrow{B'A'}=2 \overrightarrow{KJ}\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{B'A'}$
Vậy $ABA'B'$ là hình bình hành, nên $AA'$ và $BB'$ cắt nhau tại trung điểm chung $M_1$ của chúng.
Tương tự, $BB'$ và $CC'$ cũng cắt nhau tại trung điểm chung $M_1$ của chúng.
Vậy ba đoạn thẳng $AA', BB', CC'$ giao nhau tại trung điểm chung $M_1$ của chúng.
b) Ta có: $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MA'}$ và $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MA'}=2 \overrightarrow{MM_1}$
Suy ra $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2 \overrightarrow{MM_1}=3 \overrightarrow{MG}$ ($G$ là trọng tâm $\Delta ABC$)
hay $\overrightarrow{MM_1}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MG}$ nên $M, M_1, G$ thẳng hàng.
Vậy đường thẳng $MM_1$ luôn đi qua điểm $G$ cố định khi $M$ di động.

Bài 109943

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109943

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan